¿Cómo resuelvo este problema de calculo?
Un corredor de maratón empieza la carrera lentamente, porque guarda su energía para la parte final. Después casi sin sentirlo, sube su velocidad sin sentirlo hasta un valor máximo, para después disminuirla por efectos del cansancio. Una ecuación que modela la velocidad del corredor es
v(t) = A-B(t-2)^2
Si empieza con una velocidad de 7 km/h y termina los 42 km de carrera en cuatro horas
a) Determina los valores de A y B
b)Establece la velocidad promedio del corredor
c) Calcula la velocidad promedio del corredor en el intervalo [0, t] y su velocidad promedio máxima
d) Si el corredor corriera toda la carrera a su velocidad promedio máxima ¿Cuánto tiempo haría en recorrer los 42 km?
1 respuesta
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a)
Vamos a concretar un poco más la velocidad, para t=0 es 7, luego
7 = A-B(0-2)^2
7 = A-4B
A = 7+4B
luego la ecuación de la velocidad es
v(t) = 7 + 4B - B(t-2)^2
La velocidad es la derivada de la posición, llamémosla x(t)
$$\begin{align}&x'(t) = v(t) \\&\\&x(t) =\int v(t)dt=\int[7 + 4B - B(t-2)^2]dt=\\&\\&(7+4B)t -\frac{B(t-2)^3}{3}+C\\&\\&\text{La constante C debe ser tal que }x(0)=0\\&\\&0-\frac{B(0-2)^3}{3}+C=0\\&\\&\frac{8B}3 +C= 0\\&\\&C=-\frac{8B}{3}\\&\\&luego \\&\\&x(t)=(7+4B)t -\frac{B(t-2)^3}{3}-\frac {8B}3\\&\\&\text{Y para t=4 ha recorrido 42km}\\&\\&42=(7+4B)·4-\frac{8B}{3}-\frac{8B}{3}\\&\\&42=28+16B-\frac{16B}{3}\\&\\&\frac{32B}3 = 14\\&\\&B =\frac {42}{32}=\frac{21}{16}=1.3125\\&\\&A=7+4·1.3125=12.25\end{align}$$·
b) La velocidad promedio es 42km/4k = 10.5 km/h
Aunque me parece tan sencillo eso que creo que lo que quieren es la función velocidad promedio de un intervalo. Entonces dados
0<=a < b <= 4 la velocidad promedio entre a y b es
$$\begin{align}&V_p(a,b)=\frac 1{b-a}\int_a^bV(t)dt=\\&\\&\frac 1{b-a}\int_a^b [ 12.25 -1.3125(t-2)^2]dt=\\&\\&\frac 1{b-a}\left(12.25(b-a)-\frac{1.3125}{3}\left[(b-2)^3-(a-2)^3\right] \right)=\\&\\&12.25 - \frac{0.4375\left[(b-2)^3-(a-2)^3\right]}{b-a}\;km/h\end{align}$$·
c)
Aplicando la fórmula calculada de la velocidad promedio e un intervalo [0,t] tenemos
$$\begin{align}&V_p(0,t)=12.25 - \frac{0.4375\left[(t-2)^3-(0-2)^3\right]}{t-0}=\\&\\&12.25 - \frac{0.4375\left[(t-2)^3+8\right]}{t}=\\&\\&12.25 - \frac{0.4375\left(t^3-6t^2+12t-8+8\right)}{t}=\\&\\&12.25 - 0.4375\left(t^2-6t+12\right)\\&\\&\text{Para calcular el máximo derivamos}\\&\text{e igualamos a 0}\\&\\&V_p'(0,t)= -0.4375(2t-6)=0\\&\\&2t-6=0\\&2t=6\\&t=3\\&\\&\text{Y la derivada segunda es}\\&V_p''(0,t)= -2·0.4375= -0.875\\&\text{luego t=3 es un máximo}\end{align}$$Luego en t=3 horas tiene la mejor velocidad promedio.
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d)
Calculamos la velocidad promedio máxima y dividimos el trayecto entre ella
$$\begin{align}&V_p(0,3)=12.25 - 0.4375\left(3^2-6·3+12\right)=\\&\\&12.25-0.4375(9-18+12)=\\&\\&12.25-0.4375·3=\\&\\&12.25-1.3125= 10.9375\; km/h\\&\\&\text{Y le habría costado}\\&\\&\frac{42}{10.9375}= 3.84 h=3h \;50.4min=3h\;50min\;24seg\end{align}$$
