Inecuaciones con solución imaginario y logaritmos

$$\begin{align}&(x^2+1)(x+1)(x-1)<0\\&\\&Observa \ que \ x^2+1>0 (\forall \ x)\\&Luego \ como \ x^2+1 \ es \ siempre \ positivo\\&la \ inecuación \ se \ reduce \ a:\\&(x+1)(x-1)<0\\&intervalos:\\&(-\infty,-1) \Rightarrow P(-10)=(-10+1)(-10-1)=(-)·(-)>0\\&(-1,1) \Rightarrow \ P(0)=(1)(-1)=(+)·(-)<0\\&(1,+\infty)  \Rightarrow P(10)=(+)(+)>0\\&Solución \ intervalo:\\&(-1,1)\\&\end{align}$$

$$\begin{align}&2^{5x-9}<0\end{align}$$

No tiene solución,ya que una base positiva elevada a cualquier exponente siempre da positiva.

·

Las inecuaciones deben ser con números reales, más que nada porque en los complejos no hay relación de orden.

Entonces la factorización debes dejarla en lo que se pueda factorizar en números reales. Todo ello si quieres resolverlo mediante factorización, que también se puede resolver de otras formas

x^4 - 1 < 0

(x^2+1)(x^2-1) < 0

(x^2+1)(x+1)(x-1) < 0

Tienes tres factores, para que el resultado sea negativo debe haber o tres factores negativos o 1 negativo y 2 positivos.

Los tres negativos no pueden ser porque (x^2+1) es siempre positivo, luego habrá valor negativo cuando uno solo de los factores (x+1) o (x-1) sea negativo

x+1< 0  ==> x <-1

x-1 < 0 ==> x < 1

si x<-1 lo cumplirán los dos factores.

pero si -1 < x < 1 solo lo cumplirá el factor (x-1)  que es lo que buscamos.

Luego la solución es

x en (-1, 1)

o puesto de otros formas

-1 < x < 1

|x| < 1

--------

2^(5x-9) < 0

Este ejercicio está mal, una base positiva elevada a cualquier potencia es siempre positiva, luego no puede ser menor que 0.

Si acaso a lo mejor podrían querer decir

2^(5x-9) < 1

en ese caso tomando logaritmo en base 2 sería

5x-9 < log_2(1) = 0

5x < 9

x < 9/5

Pero recuerda que hasido modificando el enunciado. El ejercicio tal como está no tiene solución.