Demostración de MCM entre 2 números.
$$\begin{align}&\text{Si } a=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}...p_k^{\alpha_k} \text{y } b=p_1^{\beta_1}p_2^{\beta_2}...p_k^{\beta_k} \text{donde los }p_i\\& \text{son números primos distintos y donde }\alpha_i,\beta_i=>0, \\&\text{demuestre que } (a,b)=p_1^{\delta_1}p_2^{\delta_2}...p_k^{\delta_k} \text{donde } \delta_i=min(\alpha_i,\beta_i).\end{align}$$
1 Respuesta
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Si tenemos dos numeros a >= b >= 0
Se cumple que p^b divide a p^a ya que
p^a / p^b = p^(a-b)
Y esto es un número entero porque a-b>=0
Asimismo si a<b entonces p^b no divide a p^a ya que
p^A / p^b = p^(a-b) con a-b<0 no es un número entero
Entonces todo p_i^(delta_i) divide a sus respectivos p_i^(alfa_i) y p_i^(beta_i) porque tal como se han construido cada delta_i es menor o igual que su correspondiente alfa_i y beta_i. Luego el número formado con los delta_i divide a a y b.
Veamos que no existe otro número que los divida y sea mayor.
Evidentemente otro número mayor m no puede tener un factor primo distinto de los p_i ya que entonces no dividiría a a y b, luego tiene que tener como factores primos los p_i. Y para ser mayor deberá tener algún exponente mayor, si todos son menores o iguales el número m será menor o igual. Luego para cierto i, m tendrá un exponente gamma_i de mayor que delta_i, pero entonces p_i^(gamma_i) no dividirá al menos a uno de los dos números, si gamma_i >alfa_i no dividirá a a, gamma_i> beta_i no dividirá a b. Luego ya no será un divisor común y no podrá ser el máximo común divisor.
Por lo tanto ese número que dicen es el mayor divisor común de a y b.
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Y eso es todo.
