¿Cómo puedo determinar si la siguiente función de dos variables es continua o discontinua?
Determinar si se trata de una función continua.
f(x,y) = (x^2 + 2y^2)/(x^2+y^2) en el punto (0,0)
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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el ejercicio viene así tal cual lo escribí, ¿entonces es discontinua?
muchas gracias.
Sí, al no darnos ningún valor de la función en (0,0) es discontinua. Si nos dieran un valor comparararíamos el límite con el valor dado para ver si coincidían.
Otra cosa que se podría hacer es comprobar si la función tiene límite en (0,0) si lo tiene sería una discontinuidad evitable y si no lo tiene sería inevitable. Además yo creo que eso es lo que quieren que hagas. A mi me da que es inevitable vamos a ver:
$$\begin{align}&\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+2y^2}{x^2+y^2}=\\&\\&\text{Calculado por el camino (h,h) será}\\&\\&=\lim_{h\to 0}\frac{h^2+2h^2}{h^2+h^2}= \lim_{h\to 0}\frac{3h^2}{2h^2}=\frac 32\\&\\&\text{Mientras que calculado por el camino (h,2h)}\\&\\&\lim_{h\to 0}\frac{h^2+8h^2}{h^2+4h^2}=\lim_{h\to 0}\frac{9h^2}{5h^2}=\frac 95\end{align}$$Luego es discontinua inevitable.
Y eso es todo.
