Calcular la derivada parcial usando la regla de la cadena para el siguiente ejercicio.

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$$\begin{align}&U(x,y,z) = x^4y + y^2z^3 \\&x = rse^t \\&y = rs^2e^{-t}\\&z = r^2s\,sen\,e^t\\&\\&\frac{\partial u}{\partial s}=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}+\frac{\partial u}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial s}=\\&\\&4x^3y·re^t+(x^4+2yz^3)2rse^{-t}+3y^2z^2·r^2sen\, e^t=\\&\\&4r^3s^3e^{3t}·rs^2e^{-t}·re^t+\\&2(r^4s^4e^{4t}+2rs^2e^{-t}·r^6s^3sen^3e^t)rse^{-t}+\\&3r^2s^4e^{-2t}·r^4s^2sen^2 e^t·r^2sen\,e^t=\\&\\&4r^5s^5e^{3t}+2r^5s^5e^{3t}+4r^8s^6e^{-2t}sen^3e^t+3r^8s^6e^{-2t}sen^3e^t=\\&\\&6r^5s^5e^{3t}+7r^8s^6e^{-2t}sen^3e^t\end{align}$$

Y eso es todo, no se gana nada sacando factor común.

Hola experto, tengo una pequeña duda, los valores de r =2, s=1, t=0 y (x=2,y=2, z=0) como se especifica en el principio del problema, ¿no se deben sustituir en algún lado o algo por el estilo ? no entiendo porque esos valores son dados no sé que hacer con ello.

muchas gracias, un saludo

$$\begin{align}&\text {Cuando }r=2, s=1,t=0\\&\\&\frac{\partial U}{\partial s}=6r^5s^5e^{3t}+7r^8s^6e^{-2t}sen^3e^t=\\&\\&6·2^5·1^5·e^0 + 7·2^8·1^6·sen^3e^0=\\&\\&6·32·1·1 + 7·256·1·sen^31=\\&\\&192 + 1792\,sen^31\approx 1259.71524\end{align}$$

Los valores entre paréntesis de x, y, z no se corresponden con los que tendrían que valer para esos valores de r, s y t.   Los de x y y están bien, pero en de z está mal, tendria que ser z=4·sen(1).  Luego no sé lo que quieren decir.  Mira a ver si está bien el enunciado y está completo.

Qué tal, ya he revisado el enunciado, parece ser que así se han dado los valores y está completo. Suponiendo que el valor de z=4*sen(1), ¿Qué se tendría que hacer? ¿Cómo concluye el problema?

Muchísimas gracias.