¿Cómo encuentro las condiciones para que el siguiente sistema tenga solución única?

Supongo que las variables son x, y; y que a, b, c son constantes

Para que el sistema tenga solución única, el sistema debe ser linealmente independiente (LI). Veamos que sale...

ax + by =c.............(1)
ax- by =c...............(2)

Primero asumo que a, b, c son todos distintos de cero, después veré que pasa en esos casos:

Sumando (1) y (2)

2ax = 2c

ax=c

x = c/a...................(3)

reemplazo x en (1)

a (c/a) + by = c

c + by = c

by = 0

Como ya dije que b es distinto de cero, entonces y = 0

o sea que si a,b,c son distintas de cero, el sistema es LI y la solución única es x=c/a; y=0

Si a=0, en realidad queda

by =c.............(1')
-by =c...............(2')

Sumando (1') y (2')

0 = 2c por lo tanto c=0 y no hay condiciones de y, así que el sistema NO tiene solución única (si c es distinto de cero, entonces el sistema es incompatible)

Si b=0

ax =c.............(1'')
ax =c...............(2'')

El sistema tiene la solución x = c/a (para cualquier y), así que NO tiene una solución única!

Si c = 0

ax + by =0.............(1''')
ax- by =0...............(2''')

Sumando

2ax=0 

Entonces

a=0 (ya lo vimos antes)

x=0

Pero y puede ser cualquiera, así que el sistema NO tiene solución única

Y con eso creo que cubrí todos los casos, en concreto las condiciones son que a, b, c sean todos distintos de cero y las soluciones son x=c/a, y=0

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Dado un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas hay una solución única si y solo si el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de 0

$$\begin{vmatrix}a&b\\a&-b\end{vmatrix}$$

a(-b) - ab = -ab-ab = -2ab <>0  ==> a<>0 y b<>0

No tener solución única no significa que tenga infinitas, también puede ser que no tenga ninguna.

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Y eso es todo, espero que te sirva y lo hayas entendido. Si acaso no has dado las matrices y determinantes dímelo y lo resolvemos de otra forma.