Si H y K son subgrupos de un grupo G, demuestre que HK es un subgrupo de G, si y sólo si HK=KH

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El conjunto HK no será vació ya que el elemento neutro esta en H y K y por lo tanto HK tendrá el producto de él por sí mismo.

Demostraremos primero que

HK = KH ==> HK es subgrupo

Tomemos dos elementos de HK y veamos que el producto del primero por el inverso del segundo está en HK, eso es el teorema de caracterización de subgrupos.

$$\begin{align}&Sean\\&h_1,h_2 \in H\\&k_1,k_2\in K\\&h_1k_1,h_2k_2 \in HK\\&\\&h_1k_1·(h_2k_2)^{-1}=\\&h_1k_1k_2^{-1}h_2^{-1}=\\&\\&Como\; KH=HK \implies k_2^{-1}h_2^{-1}=h_3k_3\\&\\&=h_1k_1h_3k_3 =\\&\\&Como \;HK=KH \implies k_1h_3 =h_4k_2\\&\\&=h_1h_4k_2k_3 =h_5k_4 \in HK\end{align}$$

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Y la otra demostración es la que no tengo tan clara.

HK subgrupo ==> HK=KH

$$\begin{align}&Sea \;hk\in HK\\&\text{Por ser HK subgrupo}\implies (hk)^{-1}\in HK\\&\\&(hk)^{-1}= k^{-1}h^{-1}\in KH\\&\\&\text{luego todo elemento de HK} \\&\text{tiene su inverso en  KH}\\&\text{Como todo elemento de un grupo es}\\&\text{inverso de otro de ese mismo grupo,}\\&\text{el conjunto de los inversos es igual al grupo.}\\&\text{Luego }HK \subseteq KH\\&\\&\text{Y KH no puede tener otros elementos aperte}\\&\text {de los inversos de HK porque todo elemento}\\&kh \in KH\; es\;(h^{-1}·k^{-1})^{-1}\\&\text{el inverso de un elemento de HK}\\&\text{Luego }KH\subseteq HK\\&\\&\text{Y al darse las dos inclusiones tenemos}\\&HK=KH\end{align}$$

Y eso es todo.

¡Gracias! Muy agradecida maestro!