Demostración de que un subgrupo de un grupo si ambos subgrupos son normales

Amo Mo!

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El conjunto HK no es vació, ya que si llamamos 1 al elemento neutro, como 1 pertenece a H y K tendremos el elemento 1·1 = 1

Nos falta por ver que dados dos elementos de HK el producto de uno por el inverso del otro es un elemento de HK

$$\begin{align}&Sean \\&\\&h_1, h_2 \in H\\&k_1, k_2 \in K\\&h_1k_1, h_2k_2\in HK\\&\\&h_1k_1·(h_2k_2)^{-1}=\\&h_1k_1·k_2^{-1}h_2^{-1}=\\&\\&Si\; K\unlhd G\implies Kg=gK\quad\forall g\in G\\&\text{luego }k_2^{-1}h_2^{-1}=h_2^{-1}·k_3 \text{ para algún }k_3 \in K\\&\\&=h_1k_1·h_2^{-1}·k_3 =\\&\\&\text{por el mismo argumento }k_1·h_2^{-1}= h_2^{-1}·k_4 \;con\;k_4\in K\\&\\&=h_1 h_2^{-1}·k_4·k_3 \in HK\\&\\&\text{Y si es }H \unlhd G \text{ tendremos }gH=Hg \quad\forall g \in G\\&\text{volvemos a partir de}\\&\\&h_1k_1·k_2^{-1}h_2^{-1}=\\&\\&\text{se cumplirá }k_2^{-1}h_2^{-1}=h_3k_2^{-1}\quad con\;h_3\in H\\&\\&=h_1k_1h_3k_2^{-1}\\&\\&\text {y se cumplirá } k_1h_3=h_4k_1  \quad con\;h_4 \in H\\&\\&=h_1h_4k_1k_2^{-1} \in HK\end{align}$$

Si ambos son normales

$$\begin{align}&Sea\; g \in G,\; hk \in HK\\&\\&\text{Hay que demostrar que el conjugado }\in HK\\&\\&g^{-1}hkg =\\&\\&como\; H\unlhd G \implies g^{-1}H=Hg^{-1}\implies\\&g^{-1}h = h_2g^{-1}\quad con \;H_2\in h\\&\\&= h_2g^{-1}kg =\\&\\&Como\;K\unlhd G\implies Kg=gK\implies\\&kg = gk_2\quad con \;k_2\in K\\&\\&= h_2g^{-1}gk_2=h_2k_2 \in HK\\&\\&\text{luego el conjugado está en HK y por lo tanto}\\&\\&HK\unlhd G\end{align}$$

Y eso es todo.