¿Como hallar las ecuaciones de las rectas tangentes de la siguiente función?

Para escribir la ecuación de la recta tangente, utilizaré la ecuación de la recta en forma punto-pendiente.

Recuerda que la pendiente de la recta tangente en un punto de una función se calcula con la derivada de la función en ese punto.

Como queremos que el ángulo sea pi/4=45º, la pendiente de la recta ha de ser tan45º=1

Luego la derivada en el punto de tangencia ha de valer 1.

$$\begin{align}&f(x)=\frac{x-1}{x+1}\\&\\&f'(x)=\frac{1(x+1)-1(x-1)}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}\\&\\&m=1 \Rightarrow f'(x)=1 \Rightarrow\\&\\&\frac{2}{(x+1)^2}=1\\&\\&2=(x+1)^2\\&x^2+2x+1=2\\&x^2+2x-1=0\\&\\&x=\frac{-2 \pm \sqrt{4+4}}{2}=\frac{-2 \pm \sqrt 8}{2}=\frac{-2 \pm2 \sqrt 2}{2}=-1\pm \sqrt 2\\&\\&Puntos  \ de \ Tangencia\\&x_1=-1+ \sqrt 2  \Rightarrow f(-1+ \sqrt 2)=\frac{-1+ \sqrt 2 -1}{-1+ \sqrt 2 +1}=\frac{-2 + \sqrt 2}{\sqrt 2}=\\&\\&\frac{-2 + \sqrt 2}{\sqrt 2}·\frac{\sqrt 2}{\sqrt 2}=\frac{-2 \sqrt 2 +2}{2}=- \sqrt 2 +1\\&recta \ tantente_1:\\&y-y_o=m(x-x_o)\\&\\&y-((- \sqrt 2 +1)=1(x-(-1+ \sqrt 2))\\&y+ \sqrt 2-1=x+1-\sqrt 2\\&y=x+(2-2 \sqrt 2)\\&\\&x_2=-1- \sqrt 2\\&y_2=f(x_2)=\frac{-1- \sqrt 2 -1}{-1- \sqrt 2 +1}=\frac{-2- \sqrt 2}{- \sqrt 2}=\frac{2+ \sqrt 2}{ \sqrt 2}·\frac{\sqrt 2}{\sqrt 2}=\\&\\&\frac{2 \sqrt 2 +2}{2}=\sqrt 2 +1\\&recta \ tangente_2:\\&y-(\sqrt 2 +1)=1(x-(-1-\sqrt 2))\\&y- \sqrt 2 -1=x+1+ \sqrt 2\\&y=x+(2+2 \sqrt 2)\\&\end{align}$$

·

Si la tangente forma pi/4 con el origen, eso son 45%, cuya pendiente es 1. Entonces como la derivada es la pendiente de la tengente tendrá que valer 1 la derivada, vamos a ver cuáles son los valores que cumplen eso

$$\begin{align}&f(x) = \frac{x-1}{x+1}\\&\\&f'(x)= \frac{x+1-x+1}{(x+1)^2}=\frac{2}{(x+1)^2}\\&\\&1=\frac{2}{(x+1)^2}\\&\\&(x+1)^2=2\\&\\&x+1=\pm \sqrt 2\\&\\&x=-1\pm \sqrt 2\\&\\&\text{La ecuación de la ecta tangente en }(x_0,y_0)\; es\\&\\&y=y_0+f'(x_0)(x-x_0)\\&\\&\text{nos falta calcular los }y_0\\&\\&\text{para }x_0=-1-\sqrt 2\\&y_0=\frac{-2-\sqrt 2}{-\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2(2+\sqrt 2)}{2}=\sqrt 2+1\\&\\&\text{para }x_0=-1+\sqrt 2\\&y_0=\frac{-2+\sqrt 2}{\sqrt 2}=\frac{\sqrt 2(-2+\sqrt 2)}{2}=-\sqrt 2+1\\&\\&\text{La tangente en }(-1-\sqrt 2, 1+\sqrt 2) \;es\\&y = 1+\sqrt 2+1(x+1+\sqrt 2)\\&y=x+2+2 \sqrt 2\\&\\&\text{Y la tangente en }(-1+\sqrt 2,1-\sqrt 2)\;es\\&y=1-\sqrt 2 + 1(x+1-\sqrt 2)\\&y=x+2-2 \sqrt 2\end{align}$$

Y por si nos hemos equivocado se somprueba con la gráfica:

Está bien.

Y eso es todo.