¿Como resolver problema de aplicación de exponenciales en una población?
Considera que la población de tu ciudad crece exponencialmente a una tasa anual continua de 1.4%
halla:
El tiempo de duplicación de la población
3 respuestas
Una de las expresiones de la ecuación exponencial es de la forma
$$\begin{align}&f(t) = ae^{bt}\\&\mbox{En tu caso}\\&f(t) = ae^{0.014t}\\&f(0) =ae^{0.014(0)}=a \\&\mbox{(Piden hallar t, tal que f(t) = 2a)}\\&f(t) =2a\to 2a=ae^{0.014t} \\&2=e^{0.014t}\\&ln\ 2 = 0.014t\\&\frac{ln\ 2}{0.014} = t\\&t=49.51\ años\\&\\&\mbox{Otra forma, al hablar de exponencial es que el 1.4% sea incremental, por lo que el planteo sería}\\&f(t) = ae^{1.014t}\\&f(0) =ae^{1.014(0)}=a \\&\mbox{(Piden hallar t, tal que f(t) = 2a)}\\&f(t) =2a\to 2a=ae^{1.014t} \\&2=e^{1.014t}\\&ln\ 2 = 1.014t\\&\frac{ln\ 2}{1.014} = t\\&t=0.68\ años \approx 250\ días\\&\\&\\&\end{align}$$
Si crece exponencialmente, la función será:
$$\begin{align}&P=P_o(1+\frac{1.4}{100})^t\\&\\&P=P_o(1.014)^t\\&P=2P_o\\&2P_o=P_o(1.014)^t\\&2=(1.014)^t\\&\\&ln2=ln(1.014)^t\\&\\&ln2=t·ln(1.014)\\&\\&t=\frac{ln2}{ln1.014}=49.85628343 \ años=\\&\\&49 \ años \ 10 \ meses \ 8 \ dias \ 6 \ horas\end{align}$$
·
En el momento cero hay una población Po
Al año habrá P1 = Po + Po·1.4/100 = Po(1.014)
Al segundo año habrá P2= P1·(1.014) = Po(1.014)^2
Al año n-ésimo Pn=Po(1.014)^n
La función para cualquier categoría de tiempo es
P(t) = Po(1.014)^t
Cuando la población sea el doble tendremos
2Po = Po(1.014)^t
2 = (1.014)^t
ln(2) = t·ln(1.014)
t = ln(2) / ln(1.014) = 49.85628343 años
Vamos a hacer la descomposición, los meses no son una unidad fiable.
= 49 años + 0.85628343 · 365 dias =
49 años 312.5434508 días =
49 años 312 dias + 0.5434508·24 horas=
49 años 312 días 13.042818 horas =
49 años 312 días 13 horas + 0.042818 · 60 min =
49 años 312 días 13 horas 2.569080248 min =
49 años 312 días 13 horas 2 min y 34.14 seg
Y si suponemos los doce bisiestos que habrá serían
49 años 300 días 13 horas 2 min y 34.14 seg
·
Y eso es todo.