Ejercicio Álgebra lineal, Base y dimension
Demuestre que las función
$$\begin{align}&e^x yln(x)\end{align}$$son l.i. Y que generan un subespacio del espacio de funciones.
1 Respuesta
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Tomemos una combinación lineal de las dos funciones identificada con la función nula. Identificada es más que igualada, significa que los dos lados de de igualdad toman el mismo valor para cualquier x.
a·e^x + b·ln(x)=0
Debe cumplirse para x=1
ae + b0 = 0
ae =0
a=0
y debe cumplirse para x=e. Ahora ya sabemos que a=0 luego
0·e^e + b·ln(e) = 0
b·1=0
b=0
Luego hemos obtenido que la única combinación lineal de e^x y ln(x) que es la función nula es aquella cuyos coeficientes son
a=b=0
Y esa es la definición de sistema linealmente independiente.
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Y cualquier cantidad de vectores genera un subespacio basta con tomar el subespacio formado por todas las combinaciones lineales de estos
S ={a·e^x+b·ln(x) | a, b de R}
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Y eso es todo.
