9Duda del orden en grupos abelianos
Buenas agradezco de antemano la ayuda que me puedan brindar.
Cuantos grupos abelianos hay de orden 6, 15, 42.
Mi duda es:
Yo se que:
-orden 6 tiene factorización 2*3 entonces tiene 1 grupo.
-orden 15 tiene factorización 3*15 entonces tiene 1 grupo.
Pero en la de orden 42 no se si:
- factorización es 2*3*7 entonces tiene 3 grupos:
1) 2-3-7
2) 6-7
3) 2-21
Es correcto que el de orden 42 tenga tres grupos? O solo tiene un grupo y es 2-3-7?
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SOlo hay un grupo
Z2 x Z3 x Z7
porque
Z6 es isomorfo a Z2 x Z3
Z14 es isomorfo a Z2 x Z7
Z21 es isomorfo a Z3 X Z7
El producto de grupos cíclicos con orden primo entre si es isomorfo el grupo cíclico de orden el producto de los órdenes.
Para que haya varios grupos abelianos del mismo orden, en la descomposición de su orden en factores primos debe haber algún factor primo con exponente mayor de 1.
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Y eso es todo.
