Calcular el valor del siguiente limite
Hola, tengo que encontrar el valor del siguiente limite y no me puedo dar cuenta como hacerlo.
No sé si hallas oído hablar del cambio a coordenadas polares para la solución de estos límites multivariantes, pero vaya que son súper sencillos y efectivos, entonces hagamos el cambio de la siguiente forma:
$$\begin{align}&\text{sabemos por coordenadas polares que:}\\&\\&x=rcos(a) \\&y=rsen(a)\\&\\&\text{entonces, sustituyamos estas igualdades de x e y en la funciòn del lìmite original.}\\&\\&\lim_{(x,y) \to \ (0,0)} \frac{x^3y^2}{x^2+y^2}=\lim_{r \to \ 0} \frac{(rcos(a))^3(rsen(a))^2}{(rcos(a))^2+(rsen(a))^2}=\lim_{r \to \ 0} \frac{r^2(rcos^2(a))(sen^2(a))}{r^2(\cos^2(a)+sen^2(a))}=\lim_{r \to \ 0} \frac{(rcos^2(a))(sen^2(a))}{\cos^2(a)+sen^2(a)}=\lim_{r \to \ 0} \frac{(rcos^2(a))(sen^2(a))}{1}=\lim_{r \to \ 0} (rcos^2(a))(sen^2(a))=\lim_{r \to \ 0} (0*\cos^2(a))(sen^2(a))=0\\&\\&\text{por lo tanto el limite buscado es 0 y por consiguiente:}\\&\\&\lim_{(x,y) \to \ (0,0)} \frac{x^3y^2}{x^2+y^2}=0\end{align}$$y listo!
Así sería el cálculo de estos limites multivariantes :)
Si tienes duda, me preguntas.
Muchas gracias, recién estoy empezando con el cambio a coordenadas polares , por lo que me viene muy bien esto.
Saludos
Una pregunta si da cero haciendo el limite por reemplazo de coordenadas polares , ya puedo afirmar que es cero?? o tengo que hacerlo por otros caminos?.
Una disculpa por responder hasta ahora, me he dado cuenta apenas de tu pregunta :s
Efectivamente, al hacer límites multivariantes mediante coordenadas polares, garantizas que el valor del límite es correcto. Por lo tanto, si te ha dado cero es más que suficiente para afirmar que es cero.
1 respuesta más de otro experto
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Lo haremos distinto.
$$\begin{align}&\text{Cuando se divide por algo menor el resultado es mayor}\\&\\&0\le \left|\frac{x^3y^2}{x^2+y^2} \right|\le\left|\frac{x^3y^2}{y^2}\right|=|x^3|\\&\\&\lim_{(x,y)\to(0,0)}0\le \lim_{(x,y)\to(0,0)}\left|\frac{x^3y^2}{x^2+y^2} \right|\le\lim_{(x,y)\to(0,0)}|x^3|\\&\\&0\le \lim_{(x,y)\to(0,0)}\left|\frac{x^3y^2}{x^2+y^2} \right|\le 0\\&\\&\text{por el teorema del sandwich o del emparedado}\\&\\&\lim_{(x,y)\to(0,0)}\left|\frac{x^3y^2}{x^2+y^2} \right|=0\implies\\&\\&\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^3y^2}{x^2+y^2}=0\end{align}$$Y eso es todo.
Muchas gracias, yo lo había hecho de la misma forma en el parcial que tuve y por eso subí el ejercicio, mañana voy a hablar con la profesora, creo que se confundió en la corrección.
Muchísimas gracias como siempre.
A lo mejor no os ha enseñado esa forma y quiere que lo hagáis de otra forma. Puedes hacerlo por definición pero es más lioso. Consiste en razonar hacia atrás en los cálculos que hice. Tienes que conseguir que
|x^3| < epsilon
sabiendo que
x <= sqrt(x^2+y^2)
para ello haz esto.
$$\begin{align}&Dado\\&\epsilon \gt 0\\&toma\\&\delta=\epsilon^{1/3}, \\&\\&\text{entonces si}\\&\\&0\lt \sqrt{x^2+y^2}\lt\delta = \epsilon^{1/3}\implies\\&\\&0\lt (\sqrt{x^2+y^2})^3\lt\epsilon\\&\\&0\le (\sqrt{x^2})^3\lt (\sqrt{x^2+y^2})^3\lt \epsilon\\&\\&0\le |x|^3\lt \epsilon\\&\\&0\le \frac{|x|^3y^2}{y^2}\lt \epsilon\\&\\&0\le \frac{|x|^3y^2}{x^2+y^2}\le \frac{|x|^3y^2}{y^2}\lt\epsilon\\&\\& \left|\frac{x^3y^2}{x^2+y^2}-0\right|\le\epsilon \implies\\&\\&\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^3y^2}{x^2+y^2}=0\end{align}$$Ahí no tendría que quejarse por nada. O si os han enseñado lo del cambio de variable a polar hazlo como en la otra respuesta pero corrigiendo un fallo de exponentes que ha tenido.