Problema de estimación de parámetros ¿Como debe realizarse?
1. Se sabe que el peso de los ladrillos producidos por una determinada fábrica sigue una distribución normal con una desviación típica de 0.12 kilos. En el día de hoy se extrae una muestra aleatoria de 60 ladrillos cuyo peso medio es de 4.07 kilos.
a. Calcular un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy.
b. Sin realizar los cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 95% para la media población tendría mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado a.
c. Se decide que mañana se tomara una muestra de 20 ladrillos. Sin realizar los cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos mañana tendría mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado a.
d. Se sabe que la desviación típica poblacional para la producción de hoy es de 0.15 kilos. Sin realizar los cálculos, determinar si un intervalo de confianza del 99% para el peso medio de los ladrillos producidos hoy tendría mayor, menor o la misma longitud que el calculado en el apartado a.
e. Hallar el tamaño muestral necesario para calcular un intervalo de confianza del 90% para el peso medio poblacional de los ladrillos, cuya amplitud a cada lado de la media muestral sea igual a 0.01 kilos.
1 Respuesta
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Para n>30 se dice que ya se puede usar la distribución normal en lugar de la t de Student. Bueno, no son lo mismo y sería mejor seguir usando la t, pero en todos sitios usan la normal. Entonces el intervalo de confianza conocida la desviación poblacional es
$$\begin{align}&I=\left[\overline X -z_{\alpha/2}·\frac{\sigma}{\sqrt n},\; \overline X +z_{\alpha/2}·\frac{\sigma}{\sqrt n}\right]\\&\\&\alpha = 1-0.99 = 0.01\\&\alpha/2=0.01/2 = 0.005\\&\\&z_{0.005}=x\; |\; P(z\ge x)=0.005\\&\text{que es lo mismo que}\\&x\; |\; P(z\le x)=0.995\\&z_{0.005}=2.375\\&\\&I=\left[4.07-2.375·\frac{0.12}{\sqrt {60}},\; 4.07 +2.375·\frac{0.12}{\sqrt {60}}\right]=\\&\\&[4.033206658,\;4.106793342]\end{align}$$b) Tendrá una longitud menor, cuanto menor es el nivel de confianza menor es la longitud del intervalo. Eso se debe a que el coeficiente de confianza z sub alfa/2 es menor.
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c) Tendra mayor longitud. La longitud es inversamente proporcional a la raíz cuadrada de n, a menor n mayor longitud.
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d) La desviación aparece en el numerador, luego es directamente proporcional a la longitud. Si tenemos más desviación 0.15 frante a 0.12 la logitud será mayor.
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e)
La amplitad a cada lado de la media es:
$$\begin{align}&a=z_{\alpha/2}·\frac{\sigma}{\sqrt n}\\&\\&\alpha=1-0.90 = 0.1\\&\alpha/2 = 0.05\\&\text{debe buscarse 0.95 en la tabla}\\&z_{0.5}= 1.65\\&\\&\text{sustituyendo}\\&\\&0.01=1.65·\frac{0.12}{\sqrt n}\\&\\&\sqrt n=\frac{1.65·0.12}{0.01}=19.8\\&\\&n=19.8^2 = 392.04\\&\\&\text{Harían falta 393 ladrillos}\\&\text{hay que asegurar el cumplimiento}\\&\text{no se debe redondear si se incumple}\\&\end{align}$$·
Y eso es todo.
Tu respuesta es correcta hermano, perfecto. - Anónimo