Cálculo de áreas entre gráficas

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Las funciones sencillas deberían resolverse sin hacer la gráfica. Tenemos una recta y una parábola que se pueden cortar a lo sumo en dos puntos. Vamos a calcular los puntos de intersección y comparando con los límites de integración veremos si hay cruces de las funciones dentro del intervalo y haremos las integrales pertinentes.

x^2+2 = 1-x

x^2 + x + 1=0

Esa ecuación tiene soluciones complejas, luego no hay cortes entre la recta y la parábola. Para ver cuál es la función superior damos valores en un punto cualquiera, por ejemplo x=0

0^2 + 2 = 2

1-0 = 1

Luego la parábola está siempre por encima.  Y el área será:

$$\begin{align}&A=\int_0^1[x^2+2-(1-x)]dx=\\&\\&\int_0^1(x^2+x+1)dx=\\&\\&\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+x  \right]_0^1= \frac 13+\frac 12 +1=\frac{2+3+6}{6}=\frac {11}{6}\end{align}$$

Y eso es todo.