Demuestre que Hx{1}y {1}xK son subgrupos normales de HxK que estos subgrupos generan HxK, que su intersección es {(1,1)} y que

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¡Hola Lucina!

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Eso que has escrito es superior a mis conocimientos si no tengo tus apuntes delante.

El grupo Hx{1} será normal en HxK si

(Hx{1})(HxK) = (HxK)(Hx{1})

Un elemento de la izquierda será

(h1,1)·(h2,k2) = (h1·h2, 1·k2) = (h1·h2, k2)

y si tomamos este elemento de la derecha

(h1, k2)·(h2, 1) = (h1·h2, k2·1) = (h1·h2, k2)

obtenemos el mismo elemento que el de la izquierda.

Luego todo elemento de la izquierda está en la derecha.

Y análogamente se demuestra que todo elemento de la derecha está en la izquierda. Con lo cual

(Hx{1})(HxK) = (HxK)(Hx{1})

y Hx{1} es subgrupo normal de HxK

Analogamente se demuestra para {1}xK.

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Que (1,1) es la intersección es bastante evidente.

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Que conmutan también es fácil

(h,1)·(1,k) = (h·1, 1·k) = (h,k)

(1,k)·(h,1) =(1·h, k·1) = (h,k)

luego (h,1)·(1,k) = (1,k)(h,1)

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