Ejercicio 2 valor medio de una función aplicación de integración

Te hago la a) ya que en el punto b) hay algo mal redactado que no llego a interpretar lo que pide

$$\begin{align}&a) \text{ (suponiendo a>1)}\\&\overline f=\frac{1}{a-1}\cdot \int_1^a \frac{x^2}{x^3} + 3 dx=\\&\text{Acá creo que hay un error (pues así como está la función se puede simplificar), pero en caso que no sea así entonces:}\\&\frac{1}{a-1}\cdot \int_1^a \frac{1}{x} + 3 dx=(\frac{1}{a-1})\cdot (ln |x| + 3x) \bigg|_1^a=\\&(\frac{1}{a-1})\cdot ((ln |a| + 3a) -(ln 1 + 3)) =\frac{ln |a| + 3a-3}{a-1}\\&\text{Podés dejarlo así o partir en denominador, quedando:}\\&\frac{ln |a| }{a-1}+3\end{align}$$

Respecto al punto b), te voy a hacer lo que interpreto

$$\begin{align}&b)\\&\overline f = \frac{1}{b-a} \int _a^b x^2 dx=\frac{1}{b-a} \frac{x^3}{3}\bigg|_a^b=\\&\frac{b^3-a^3}{3(b-a)}=\frac{a^2+ab+b^2}{3}\end{align}$$

Lo que no llego a darme cuenta es donde querés poner el valor de "c" :(

$$\begin{align}& \end{align}$$

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¡Hola Moropeza!

El valor promedio del intervalo es la integral en el intervalo entre la longitud del intervalo.

$$\begin{align}&m=\frac{1}{a-1}\int_1^a \left(\frac{x^2}{x^3}+3\right)dx=\\&\\&\frac{1}{a-1}\int_1^a \left(\frac 1x+3\right)dx= \\&\\&\frac 1{a-1}\bigg[ ln\,x+3x \bigg]_1^a=\\&\\&\frac{1}{a-1}(ln\,|a|+3a-ln\,1-3)=\\&\\&\frac{ln\,|a|+3a-3}{a-1}=\frac{ln\,|a|}{a-1}+3\end{align}$$

b) No nos dicen el intervalo, tomaré uno genérico.  Calculamos el valor medio en el y luego el c tal f(c) es ese valor

$$\begin{align}&m= \frac{1}{b-a}\int_a^bx^2dx=\\&\\&\frac{1}{b-a}·\frac{x^3}{3}\bigg|_a^b= \frac{1}{b-a}·\frac{b^3-a^3}3=\\&\\&\frac{b^2+ab+a^2}{3}\\&\\&c=\sqrt{\frac{b^2+ab+a^2}{3}}\\&\end{align}$$

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