Resolvre ecuaciones diferenciales paso a paso hallando el factor integrante si puede explicar

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¡Hola Albert!

La forma canónica es

$$\begin{align}&M(x,y)dx +N(x,y)dy = 0\\&\\&\text{Sería una diferencial exacta si } M_y=N_x\\&\\&6xydx + (4y+9x^2)dy=0\\&\\&M_y=6x\\&N_x=18x\\&\\&M_y-N_x=-12x\\&\\&\text{Y vemos que}\\&\\&\frac{M_y-N_x}{M}=\frac{-12x}{6xy}=-\frac{2}{y}\\&\\&\text{no depende de x. En este caso el factor integrante es } \\&\mu(y)=e^{\int \frac{N_x-M_y}{M}}\\&\\&\mu(y)=e^{\int \frac 2ydy}=e^{2lny}=e^{lny^2}=y^2\\&\\&\text{Multiplicando por el factor la ecuación queda}\\&\\&6xy^3dx + (4y^3+9x^2y^2)dy=0\\&\\&\text{Lo comprobamos}\\&M_y=18xy^2\\&Nx=18xy^2\\&\text{está bien}\\&\\&\text{Integramos }Mdx\\&\\&u(x,y)=\int 6xy^3dx= 6y^3\int xdx=3x^2y^3+\varphi(y)\\&\\&\text{lo derivamos respecto de y}\\&\\&\frac{\partial u}{\partial y}=9x^2y^2+\varphi'(y)\\&\\&\text{lo igualamos a N}\\&\\&9x^2y^2+\varphi'(y)=4y^3+9x^2y^2\\&\\&\varphi'(y)=4y^3\\&\\&\varphi(y)=\int4y^3dy=y^4\\&\\&u(x,y)=3x^2y^3+\varphi(y)=3x^2y^3+y^4\\&\\&\text{Y la solución es }u(x,y)=C\\&\\&3x^2y^3+y^4=C\\&\\&\end{align}$$