Resolución de Problema de inecuación y desigualdad

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¡Hola Luz!

Debemos hacer que esa expresión sea mayor que 35 y resolver la inecuación.

$$\begin{align}&\frac{(n-1)n}{2}-n \gt 35\\&\\&\\&\frac{(n-1)n}{2} \gt35+n\\&\\&(n-1)n \gt 70 + 2n\\&\\&n^2-n >70+2n\\&\\&n^2-3n-70 >0\end{align}$$

Esto es una parábola con variable n en lugar de x.  Es una parábola con el coeficiente de n^2 positivo, eso significa que tiene forma de U, por lo tanto la parábola tendrá signo positivo en todo salvo el intervalo entre los cortes con el eje X (si es que tiene cortes)

Calculemos esos cortes:

$$\begin{align}&n^2-3n-70=0\\&\\&n=\frac{3\pm \sqrt{9+280}}{2}=\\&\\&\qquad \frac{3\pm 17}{2}=-7 \;y\; 10\end{align}$$

Entonces la inecuación se cumple a la izquierda de -7 y a la derecha de 10.  A la izquierda de 7 no nos interesa, los poligonos no tienen un número negativo de lados, luego lo que nos interesa es la derecha 10.

La respuesta es que debe tener 11 lados o más. El 10 da justas las 35 diagonales pero nos piden más de 35 luego no sirve.