Probar que X es un espacio métrico completo
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$$\begin{align}&\mbox{Sea }X=C[0,1] \ \mbox{ y }\ d(x,y)=\max_{t\in[0,1]}|x(t)-y(t)|\mbox{ verifique que }X\mbox{ es un espacio métrico completo}\end{align}$$Gracias de antemano
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1 respuesta
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¡Hola Fray Barreto!
Habrá que ver si esa función d cumple las propiedades de una métrica.
1) d(x,y)>=0
Si ya que es el máximo de un conjunto de valores absolutos, luego no negativos.
2) d(x,y)=0 <==> x=y
Si d(x,y)=0 la máxima diferencia entre dos puntos |x(t)-y(t)|=0
luego x(t)=y(t) para todo t, luego x=y
Y si x=y es obvio que d(x,y)=0
3) d(x,y)=d(y,x)
Claro, ya que |x(t)-y(t)| = |y(t)-x(t)| para todo t, luego el conjunto de estas diferencias es el mismo y tiene el mismo máximo.
4) d(x,z) <= d(x,y)+d(y,z)
Por la desigualdad triangular tenemos
|x(t)-z(t)| = |x(t)-y(t) + y(t)-z(t)| <= |x(t)-y(t)| + |y(t)-z(t)|
max |x(t)-z(t)| <= max {|x(t)-y(t)| + |y(t)-z(t)|} = max |x(t)-y(t)| + max |y(t)-z(t)|
luego d(x,y) <= d(x,y)+d(y,z)
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Sea una sucesión f_n de funciones de estas de Cauchy. Entonces dado un épsilon, a partir de cierto n la distancia entre todas ellas será menor que epsilon. Por la definición que tiene esta distancia significa que la distancia entre todos los valores |f_i(t)-f_j(t)|de las funciones será menor que epsilon. Por ser los números reales un espacio completo para cada t de [0,1] la sucesión convergerá a un valor. La función dada por todos esos límites puntuales es la función a la que converge la sucesión.
Y eso es todo, saludos.
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