Resolver paso a paso los siguientes limites

Veamos:

$$\begin{align}&\lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x^3}-\frac{1}{8}}{x-2}\\&\text{es una indeterminación 0/0, operemos un poco la expresión a ver a que llegamos}\\&\lim_{x \to 2} \frac{\frac{8-x^3}{8x^3}}{x-2}=\lim_{x \to 2} \frac{8-x^3}{8x^3(x-2)}=\\&factorizando\\&\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(-x^2-2x-4)}{8x^3(x-2)}=\lim_{x \to 2} \frac{-x^2-2x-4}{8x^3}=-\frac{12}{64}=-\frac{3}{16}\\&\end{align}$$

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¡Hola Rocío!

$$\begin{align}&\text{Primero lo evaluamos en x=2}\\&\\&\lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x^3}-\frac{1}{8}}{x-2}= \frac{\frac 18-\frac 18}{2-2}=\frac 00\\&\\&\text{Ahora lo dejamos como solo numerador y denominador}\\&\\&\lim_{x \to 2} \frac{\frac{1}{x^3}-\frac{1}{8}}{x-2}= \lim_{x \to 2}  \frac{\frac{8-x^3}{8x^3}}{x-2}=\lim_{x \to 2}  \frac{8-x^3}{8x^3(x-2)}=\\&\\&\text{Por la igualdad ciclotómica, o por tu forma favorita de factorizar}\\&\\&a^b-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b + a^{n-3}b^2+...+ab^{n-2}+b^{n-1})\\&\\&=\lim_{x \to 2} \frac{(2-x)(2^2+2x+x^2)}{8x^3(x-2)}=\\&\\&\text{simplificamos 2-x con x-2, pero hay que añadir un signo -}\\&\\&=\lim_{x \to 2} -\frac{4+2x+x^2}{8x^3}=-\frac{4+4+4}{64}=-\frac {12}{64}=-\frac{3}{16}\end{align}$$

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