Como se resuelve estos ejercicios de funciones vectoriales

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¡Hola Alex!

En beneficio de todos de esta categoría de problemas solo haré uno por pregunta.

Yo creo que si nos ponemos a resolver el sistema de ecuaciones

alfa(t) = g(s)

1 - cos t = sen s

4sen(t/2) = 1-cos s

t - sent = s

nos da la noche y no logramos nada.

Pero por suerte se ve que en t=s=0 se cumplen las ecuaciones

1-1 = 0

4·0 = 1-1

1-0 = 1

El ángulo con que se cortan nos lo darán los vectores tangentes en el punto de corte t=0. Luego vamos a derivar para hallar dichos vectores.

$$\begin{align}&\alpha'(t)=\left(sent, 2 \cos \frac t2, 1-cost\right)\\&\alpha'(0)=(0,1,0)\\&\\&\\&g'(t)=(cost, sent,1)\\&g'(t)=(1,0,1)\\&\\&\text{El ángulo entre dos vectores u y v es}\\&\\&\cos\alpha=\frac{u·v}{||u||\;||v||}=\\&\\&\frac{0·1+1·0+0·1}{1·\sqrt 2}=0\\&\\&\alpha = 0\end{align}$$

Luego se cortan con ángulo 0 de forma tangencial.

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Te haré la segunda:

alfa(t)=g(s)

$$\begin{align}&e^t=s\\&2sin(t+ \frac{\pi}{2})=2 \Rightarrow \sin(t+ \frac{\pi}{2})=1 \Rightarrow  t+ \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=0\\&t^2-2=s^2-3\\&\\&s=e^0=1\\&0^2-2=1^2-3 \rightarrow -2=-2 \ \ cumple\\&\\&\vec{\alpha}(0)=(1,2, -2)=\vec{g}(1)\\&\\&\vec{\alpha}(t)=(e^t,2sen(t+ \frac{\pi}{2}),t^2-2)\Longrightarrow \\&\vec{\alpha}(t)'=(e^t, 2cos(t+\frac{\pi}{2}),2t) \Rightarrow \vec{\alpha}(0)'=(1,0,0)\\&\\&\vec{g}(s)=(s,2,s^2-3)\\&\vec{g}(s)'=(1,0,2s) \Longrightarrow\vec{g}(1)=(1,0,2)\\&\\&\cos\alpha=\frac{1+0+0}{1·\sqrt {1+4}}=\frac{1}{\sqrt 5} \Longrightarrow \alpha=63º 26'5.82''\\&\end{align}$$

Saludos

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