Resuelve el problema relacionado con el tema funciones trigonométricas.
En cierta región en la que hay búhos como depredadores y ratones como presas, la población R de ratones varía de acuerdo al modelo
Y la población de búhos “B” varía de acuerdo al modelo, donde “t” se mide en años a partir de enero 1 de 2007.
- ¿Cuál fue la población de roedores en enero 1 de 2008?
- ¿Cuál fue la población de Búhos en enero 1 de 2008?
- Realiza la gráfica ambas funciones (para lo cual puedes apoyarte de algún software)
- ¿Cuál es la población máxima de ratones y de búhos? ¿Estos valores máximos ocurren alguna vez al mismo tiempo?
- ¿En qué año próximo ocurren los valores máximos de ratones y en qué año de búhos?
2 Respuestas
Un problema muy original!
1.- El 1 de enero de 2008 ha transcurrido 1 año
t=1
R(1)=800+200sen(pi/2)=800+200=1000 ratones
2.-
B(1)=180+30sen(pi/2 - pi/2)=180+30sen0=180 buhos
3.-
gráfica construida con GeoGebra:
4.- El valor máximo de estas funciones se consigue cuando el seno es máximo. El seno máximo es igual a 1
Máximo ratones: R=800+200·1=1000
Máximo buhos: B=180+30·1=210
Veamos si pueden ocurrir simultáneamente estos máximos:
$$\begin{align}&Máximo \ ratones:\\&sen(\frac{\pi}{2}t)=1\Rightarrow\\&\frac{\pi}{2}t=\frac{\pi}{2}+2k \pi \ \ para \ \ k=0,1,2,3,..... \Rightarrow\\&\\&t=1+4k=1,5,9,13,17.......años\\&Máximo \ Buhos:\\&sen(\frac{\pi}{2}t-\frac{\pi}{2})=1\Rightarrow\\&\frac{\pi}{2}t-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+2k\pi \ \ \ para \ k=0,1,2,3,....\Rightarrow\\&\\&\frac{\pi}{2}t=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}+2k\pi\\&\frac{\pi}{2}t=\pi+2k\pi\\&\\&t=2+4k=2,6,10,14,......años\\&\\&\end{align}$$Los máximos ocurren siempre en años diferentes. Son progresiones aritméticas de diferencia 4 pero diferente término inicial ya que:
5.- El próximo máximo de ratones es k=1 (año transcurrido) 1 enero2008
Y el máximo próximo de buhos es k=2 1 enero 2009
Saludos
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Tendrías que votar a todos los expertos que contestan
Saludos
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¡Hola Iris!
1) En enero de 2008 ha pasado un año, luego t=1
$$\begin{align}&R(1)=800+200sen\left(\frac \pi 2·1 \right)=\\&800+200·1=1000\\&\\&\\&2)\\&B(1) = 180+30sen\left(\frac \pi 2·1-\frac \pi2 \right)=\\&180+30sen0=180+0=180\end{align}$$3)
Esta es la gráfica:
d) La población máxima de ratones se da cuando
sen(pi/2·t) = 1
Cada 4 años se completa el periodo de la función seno 4·pi/2 = 2pi
Luego el seno vale 1 para los años donde al restar múltiplos de 2pi a pi/2·t quede pi/2.
El primer año que sucede eso es 1 ya que
pi/2·1 - 0·2pi = pi/2
y después cada cuatro años:
1,5,9,13, ...
y la cantidad máxima de ratones es:
ratones(4k+1) = 800 + 200· 1 = 1000
·
Los buhos tendrán población máxima cuando
sen(pi/2·t - pi/2) = 1
para lo cual debe ser
pi/2·t - pi/2 = pi/2
pi/2·t = pi
t = 2
Y todos los años serán 2,6,10,14,...
La población máxima será
Buhos(4k+2) = 180+30·1 = 210
No ocurren nunca a la vez los máximos
4k+1 distinto 4c+2 para todo k y c enteros
·
e)
Eso ya está respondido. El de ratones en t=1, el año 2008 y el de ratones en t=2, el año 2009
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