Anónimo
Verificar si un cono es homeomorfo a R^2
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$$\begin{align}&\mbox{El cono }C=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3;z\geq0,\ x^2+y^2-z^2=0\}\mbox{ es homeomorfo a }\mathbb{R}^2?\end{align}$$
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Armando!
Si, por supesto que es homeomorfo.
Tienes que definir la función
f: C --------->R2
(x,y,z) ---> (x,y)
que es la proyección ortogonal del cono sobre el plano xy.
Es inyectiva.
Tengamos en cuenta que z=sqrt(x^2+y^2)
Sea f(x,y,z)=f(u,v,w)
f(x,y, sqrt(x^2+y^2))=f(u,v,sqrt(u^2+v^2))
x=u
y=v
luego
sqrt(x^2+y^2)=sqrt(u^2+v^2)
luego
z=w
por tanto
(x,y,z)=(u,v,w) y es inyectiva.
Es sobreyectiva.
Evidente, dado el punto (x, y) de R2 tomamos (x, y, sqrt(x^2, y^2)) del cono y tenemos f(x, y, sqrt(x^2+y^2)) = (x, y)
Es continua.
$$\begin{align}&\lim_{(x,y,z)\to(x_0,y_0,z_0)}f(x,y,z)=x_0,y_0=f(x_0,y_0,z_0)\\&\\&Y\; f^{-1} \text{ también es continua}\\&\\&\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f^{-1}(x,y)= (x_0,y_0, \sqrt{x_0^2+y_0^2})=f^{-1}(x_0,y_0)\end{align}$$Luego f es un homeomorfismo, por lo tanto el coo y R2 son homeomorfos.
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