Anónimo
Se forma una sustancia C de la reacción de A y B, expresar C en función del tiempo t
Se está formando una sustancia C por la reacción de dos sustancias A y B, de forma que a gramos de A y b gramos de B forman a+b gramos de C. Si inicialmente hay x0 gramos de A, y0 gramos de B y ninguno de C, y si la velocidad de formación de C es proporcional al producto de las cantidades de A y B que aun no se han combinado, expresar la cantidad, z gramos, de C formada en función del tiempo t.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Anónimo!
$$\begin{align}&\text {En el intante t hay}\\&\\&\text {x(t) g de A, }\\&\text{y(t) g de B}\\&\text{z(t) g de C}\\&\\&\text{La velocidad de formación de C es}\\&\\&z'(t)\\&\\&\text{proporcional a lo que queda}\\&\\&z'(t)=K·x(t)·y(t)\\&\\&\text{Por otro lado}\\&\\&x(t)+y(t)+z(t) = x_0+y_0\\&\\&x'(t)+y'(t)+z'(t)=0\\&\\&x'(t)+y'(t)+K·x(t)·y(t) = 0\\&\\&\text{por otro lado se supone se toman cantidades}\\&\text{proporcionales a la inicial de x(t) e y(t)}\\&\text{quedando cantidades proporcionales a la inicial}\\&\\&\frac{x(t)}{y(t)}=\frac{x_0}{y_0}\implies x(t)=\frac {x_0}{y_0}y(t)\implies x'(t)=\frac{x_0}{y_0}y'(t)\\&\\&\frac{x_0}{y_0}y'(t)+y'(t)+K·\frac{x_0}{y_0}y(t)·y(t)=0\\&\\&\text{Voy a simplificar la notación}\\&\\&\left(1+\frac {x_0}{y_0} \right)y'+K·\frac{x_0}{y_0}y^2=0\\&\\&\left(\frac {x_0+y_0}{y_0} \right)y'=-K·\frac{x_0}{y_0}y^2\\&\\&\frac{y'}{y^2}=- \frac{K·x_0}{x_0+y_0}\\&\\&-\frac 1y =-\frac{K·x_0·t+C}{x_0+y_0}\\&\\&y =\frac{x_0+y_0}{K·x_0t+C}\\&\\&\text{para que en t=0 haya }y_0\\&\\&y_0=\frac{x_0+y_0}{C}\implies C=\frac{x_0+y_0}{y_0}\\&\\&y=\frac{x_0+y_0}{K·x_0t+\frac{x_0+y_0}{y_0}}=\frac{y_0(x_0+y_0)}{K·x_0y_0t+x_0+y_0}\\&\\&x=\frac{x_0(x_0+y_0)}{K·x_0y_0t+x_0+y_0}\\&\\&z'=xy=\frac{x_0y_0(x_0+y_0)^2}{(K·x_0y_0t+x_0+y_0)^2}\\&\\&z=-x_0y_0(x_0+y_0)^2·\frac 1{K·x_0y_0t+x_0+y_0}·\frac{1}{K·x_0y_0}+C\\&\\&z=-\frac{(x_0+y_0)^2}{K^2·x_0y_0t+K(x_0+y_0)}+C\\&\\&\text{Para que en t=0 sea z=0}\\&\\&0=-\frac{(x_0+y_0)^2}{K(x_0+y_0)}+C\\&\\&C=\frac{(x_0+y_0)}{K}\\&\\&z=\frac{(x_0+y_0)}{K}-\frac{(x_0+y_0)^2}{K^2·x_0y_0t+K(x_0+y_0)}\\&\\&z=\frac{x_0+y_0}{K}\left(1-\frac{x_0+y_0}{Kx_0y_0t+x_0+y_0}\right)\\&\\&z(t)=\frac{x_0+y_0}{K}·\frac{Kx_0y_0t}{Kx_0y_0t+x_0+y_0}\end{align}$$Y yo lo dejo así aunque se que a mucha gente no le gustará porque es la expresisón en que menos cuentas hay que hacer para calcular el resultado.
¡Gracias! Muchísimas gracias :)
Espera, ahora que lo veo se me olvidó la última simplificación.
$$\begin{align}&z(t)=\frac{(x_0+y_0)x_0y_0t}{Kx_0y_0t+x_0+y_0}\end{align}$$No me había dado cuenta, ahora queda mejor.