Como hallar el dominio de definición?
Sea f la funciónfunciónde definida por;
f(x)=1+√x^2-2x
1) Hallar el dominio de definición.
2) Hallar el límite de f en +∞
3) determina las variaciones de f en [2;+∞[
1 respuesta
·
·
¡Hola Día!
Poner el símbolo de raíz cuadrada no es suficiente, fíjate que la raíz cuadrada tiene un palote encima que nos indica hasta donde llega, pero si tú no escribes nada más no sabremos hasta donde llega. Por lo tanto hay que encerrar entre parénteis el radicando
Yo pienso que quieres decir:
f(x)=1+√(x^2-2x)
Un ordenador te habría dejado el -2x fuera de la raíz.
1)
El dominio será aquel donde el radicando sea no negativo
x^2 - 2x >= 0
x(x-2) >=0
Deben ser o los dos factores no negativos o los dos no positivos.
Si x<=0 tenemos
x es no positivo
x-2 < 0 es no positivo
luego sirve
·
Si x >=2 tendremos
x no negativo
x-2 >=0 no negativo
luego sirve
·
Si 0 < x < 2 tendremos
x no negativo
x-2 < 0 negativo
No sirve
Luego el dominio es
Dom f = (-inf, 0] U [2, inf)
·
2)
$$\begin{align}&\lim_{x\to \infty} \left(1+\sqrt{x^2-2x}\right)=\\&\\&\lim_{x\to \infty}\left(1 + \sqrt{x(x-2)} \right)=\\&\\&\lim_{x\to \infty}\left(1 + \sqrt x· \sqrt{x-2} \right)=1+\infty·\infty=1+\infty=\infty\\&\\&\\&3)\\&\\&\text{La función }\;x^2-2x\quad \text { es una parábola con forma de U}\\&\text{Las raíces son 0 y 2 luego el vértice esta en x=1}\\&\text{Por lo tanto a partir de 1 crece siempre la función}\\&\text{Luego a partir de 2 es siempre creciente}\\&\text{Y si }x^2-2x\text{ crece también crece su raíz cuadrada y f(x)}\\&\text{Luego el rango de variación en } [2; +\infty) \;es\\&\\&[f(2), \lim_{x\to \infty} f(x) ) = \left[1+ \sqrt{2^2-2·2},\, \infty\right)= [1, \infty)\\&\end{align}$$Perdona por no usar la notación [1, inf [
Pero es que no sé a qué mente brillante se le ocurrió esa notación. Como yo te ponga una línea con tres o más parejas de paréntesis de ese tipo no te vas a aclarar cuales son los de apertura y cuáles los de cierre, vas a tener que estar todo el rato contando cuántos van desde el principio de línea para saberlo.
Mientras que con la notación
( ), ( ], [ ], [ )
Siempre sabes cuál abre y cierra sin tener que mirar lo anterior.
Un desastre la notación esa que he visto que se usa tanto ahora.
Saludos.
:
:
