Probar que x^2 - x+1 divide al polinomio (x-1)^27 + x^27 + 1
Probar que
$$\begin{align}&x^2 - x + 1 \end{align}$$divide al polinomio
$$\begin{align}&(x - 1) elevado a la 27 + x (elevado ala 27) + 1\end{align}$$
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¡Hola Christofer!
Yo no se qué teoría estarás dando, convendría saberla. A mí lo único que se me ocurre es hallar las raíces del denominador y comprobar que son raíces del numerador, entonces se podrán simplifificar los factores (x-r1) y (x-r2) y la división será exacta
$$\begin{align}&x=\frac{1\pm \sqrt {1-4}}{2}=\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt 3}{2}i\end{align}$$Bueno, son complejas pero vemos que su módulo es 1 y los ángulos son 60º y 300º
Eso quiere decir que son raíces sextas de la unidad, cada vez que las elevamos a la 6 el resultado es 1 y si las elevamos al cubo el resultado es -1.
De eso se deduce que x^27 = (x^6)^4 · x^3= 1^4·(-1) = -1
Nos queda comprobar cuanto vale (x-1)^27
$$\begin{align}&(x-1)= \frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt 3}{2}i-1=-\frac 12\pm \frac{\sqrt 3}{2}\end{align}$$Estas tienen también módulo 1 y los ángulos son 120º y 240º, luego son ráices cúbicas de la undad, al elevarlas al cubo da 1
luego (x-1)^27 = ((x-1)^3)^9 = 1^9 = 1
Con todo esto el numerador para una de esas raíces vale
-1 + 1 +1 = 1
Pues no es divisor, algo debe haber mal en el enunciado, revísalo. Probablemente sobre el 1 en el numerador.
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