Elimine el término xy de la ecuación y grafíquela 4xy+3x^2=5
$$\begin{align}&4xy+3x^2=5\end{align}$$Elimine el término xy de la ecuación y grafíquela
Elimine el término xy de la ecuación y trafíquela
Elimine el término xy de la ecuación y grafíquela
Elimine el término xy de la ecuación y grafíquela
Elimine el término xy de la ecuación y grafíquela
Elimine el término xy de la ecuación y grafíquela
3 respuestas
Supongo que con "eliminar" se refiere a dejar y expresada como función de x, si esto es así tenemos que:
$$\begin{align}&4xy + 3x^2=5\\&4xy =- 3x^2+5\\&xy =- \frac{3}{4}x^2+\frac{5}{4}\\&Si\ x \ne0 (paso\ x\ dividiendo)\\&y =- \frac{3}{4}x+\frac{5}{4x}\\&\text{De la ecuación original vemos que si x=0, entonces queda 0=5 lo cual no tiene sentido}\\&\text{Podemos dejar la expresión como está o acomodarla un poco...}\\&y =\frac{-3x^2+5}{4x}\end{align}$$
No lo piden pero de la gráfica se ve que tiene una asíntota vertical en x=0 y una asíntota oblicua y=-3/4 x
Ya veo que lo estás dando son cónicas cualesquiera y probablemente lo que quieres es la forma canónica de la cónica mediante una rotación e incluso traslación.
Sabemos que un giro hace la transformación
x' = x·cost - y·sent
y' = x·sent + y·cost
También podemos considerar que esa cónica vino de la rotación de una que no tenía término xy, entonces podemos poner que fue
x = x'·cost - y'·sent
y = x'·sent + y'·cost
Sustituimos estos valores en la ecuación de la cónica
$$\begin{align}&4xy + 3x^2 = 5\\&\\&4(x'·cost - y'·sent)(x'·sent + y'·cost) + 3(x'·cost - y'·sent)^2 = 5\\&\\&4x^{'2}cost·sent+4x'y'\cos^2t-4x'y'sen^2t-4y{'^2}sent·cost+\\&3x^{'2}\cos^2t -6x'y'sent·cost+3y^{'2}sen^2t=5\\&\\&\text{El témino de x'y' hay que igualarlo a 0}\\&\\&4cos^2t-4sen^2t-6sent·cost=0\\&\\&4cos(2t)-3sen(2t)=0\\&\\&4cos(2t)=3sen(2t)\\&\\&tg(2t) = \frac 43\\&\\&sen (2t)=\frac{4}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac 45\\&\\&\cos (2t) =\frac{3}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac 35\\&\\&sen t=\sqrt{\frac{1-\frac 35}{2}}=\sqrt{\frac 15}=\frac{\sqrt 5}{5}\\&\\&\cos t = \sqrt{\frac{1+\frac 35}{2}}=\sqrt{\frac 45}=\frac{2 \sqrt 5}{5}\\&\\&\text{En la ecuación de arriba una vez eliminados los x'y' queda}\\&\\&4x^{'2}cost·sent-4y{'^2}sent·cost+3x^{'2}\cos^2t +3y^{'2}sen^2t=5\\&\\&4·\frac {10}{25}x^{'2}-4·\frac{10}{25}y^{'2}+3·\frac {20}{25}x'^2+3·\frac {5}{25}y^{'2}=5\\&\\&\frac 85x^{'2}-\frac 85y^{'2}+\frac {12}5x^{'2}+\frac 35 y^{'2}=5\\&\\&4x^{'2}-y^{'2}=5\\&\\&\text{Y quito las priams que tanto mal me han dado,}\\&\text{las debía haber quitado al principio}\\&\\&4x^2-y^2=5\end{align}$$Y eso es todo, esa es la ecuación de la misma cónica girada el opuesto de un ángulo cuyo seno mide sqrt(5)/5
arcsen(sqrt(5)/5) = 26.56505118º
Luego girada -26.56505118º
Y eso es todo, espero que tesirva y lo hayas entendido.
Saludos.
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4xy + 3x^2 = 5
4(x'·cost - y'·sent)(x'·sent + y'·cost) + 3(x'·cost - y'·sent)^2 = 5
4((x')^2cos
Qué asco de página, contesté y ahora no muestra la respuesta. Mando esto para ver si reaparece y puedo ver la ecuación para hacer la gráfica.
Vale ya reapaareció. Pues lo que vamos a hacer es la gráfica de ambas para que se vea que son la misma.
Ni te cuento la satisfacción que se siente cuando ves que la gráfica te da la razón a la primera.
Saludos.
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Dos partes más arriba donde tras los saludos de despedida aparecen tres líneas con fórmulas son líneas de sobra, no me di cuanta que se habían quedado ahí.
Y hay teorías ya más complicadas que resulelven todo esto con los valores propios, lo que pasa es que es un tema que no lo domino bien y nunca me acuerdo de él.
Podemos poner la cónica con esta representación matricial M
3 2 0
2 0 0
0 0 -5
Donde la primera fila es la x, la segunda la y y la tercera la del término independiente. El -5 viene del 5 pasado al otro lado. Los elementos 2 vienen de que los elementos que no son cadrado o término independiente se dividen por 2 y se ponen en su sitio y en el transpuesto.
Entonces los valores propios se calculan con el determinante
|M - t·Id|=0
El -5 ya se ve que será valor propio pero no adelanto nada.
|3-t 2 0|
| 2 0-t 0|=0
| 0 0 t+5|
·
(3-t)(-t)(t+5)-2·2(t+5)=0
(t+5)(t^2-3t-4) = 0
t_1= -5
(t+1)(t-4)=0
t_2=-1
t_3=4
Los tres valores propios son distintos luego es diagonalizable y es equivalente a esta matriz
4 0 0
0 -1 0
0 0 -5
Que es la de la cónica
4x^2 - y^2 - 5 = 0
La misma que habíamos calculado antes de forma tan trabajosa.
Y te preguntarás que porque los he puesto en ese orden. El -5 va aparte, en realidad debería haberlo dejado y calcular los valores propios solo del menor 2x2. Se calculaban los de 3x3 cuando eran cónicas en plano ampliado complejo.
Si esos dos valores propios que son 4 y -1 los ponemos al revés nos queda la cónica
-x^2+4y^2 -5 = 0
Vamos a ver que es la misma solo que girada 90º más.
Luego da lo mismo el orden en que los pongas, lo normal será poner primero el positivo y así el eje transversal será el eje X.
Luego si conoces esta teoría lo mejor es aplicarla, acorta mucho el proceso, yo no la recordaba bien pero algo me sonaba.
Saludos.
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si
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Ah, Ok... ¡Entonces te explico, Lola! (Puedes hacer click sobre la imagen para agrandarla):
A lo anterior le agregamos la gráfica, y los dos pares de ejes: x-y y u-v.
Espero te haya sido de utilidad.
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Se "resiste" la hipérbola:
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