Como hallar la derivada de las siguientes funciones?

Supongo que la función logaritmo es ln (logaritmo en base "e")

Si esto es así entonces no es complicado y basicamente debes aplicar la regla de la cadena que dice:

[f(g(x))]´ = f'(g(x)) * g'(x)

Veamos tus ejercicios

$$\begin{align}&f(x) = ln (3x-2)\\&f'(x) = \frac{1}{3x-2} \cdot 3\\&\\&f(x) = ln(x^2-1)\\&f'(x)= \frac{1}{x^2-1}\cdot 2x\\&\\&f(x) = ln (x-3)^2\\&\text{Esta última función es más clara si usamos la propiedad del logaritmo y la escribimos como}\\&f(x) = 2 ln (x-3)\\&f'(x)=\frac{2}{x-3}\end{align}$$

Entiendo que serán logaritmos neperianos.

En España se simbolizan con ln, pero hay países que ponen log.

En España el log es para el logaritmo decimal (de base 10)

La fórmula para derivar un ln es:

$$\begin{align}&D(lnu(x))=\frac{u'(x)}{u(x)}\end{align}$$

D quiere decir derivada.

$$\begin{align}&f(x)=ln(3x-2) \Longrightarrow f'(x)=\frac{3}{3x-2}\\&\\&f(x)=ln(x^2-1) \Longrightarrow f'(x)=\frac{2x}{x^2-1}\\&\\&f(x)=ln (x-3)^2 \Longrightarrow f'(x)=\frac{2(x-3)}{(x-3)^2}=\frac{2}{x-3}\\&\end{align}$$

Saludos

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;)

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¡Hola Sia!

Yo imagino que quieres decir logaritmo neperiano porque todos los libros de origen anglosajón y programas no traducidos usan log para el logaritmo neperiano. Lo que pasa es que voy a poner ln que es como se pone aquí.

Como consecuencia de que

$$\begin{align}&(ln\, x)= \frac 1x\\&\\&\text{y usando la ley de la cadena}\\&\\&g(f(x))' = g'(f(x)) · f'(x)\\&\\&\text{tenemos que}\\&\\&(ln\,u) = \frac{u'}{u}\\&\\&f(x)=ln(3x-2)\implies f'(x)=\frac{3}{3x-2}\\&\\&\\&f(x)=ln(x^2-1)\implies f'(x)=\frac{2x}{x^2-1}\\&\\&f(x)=ln(x-3)^2\implies f'(x)=\frac{2(x-3)·1}{(x-3)^2}=\frac{2}{x-3}\\&\\&\text{En esta última puedes transformar la función primero}\\&\\&f(x)=ln(x-3)^2=2·ln(x-3)\\&\\&f'(x) = 2·\frac{1}{x-3}\\&\\&\end{align}$$

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