¿Cómo se debe cortar el alambre para que las figuras que se formen sean de área máxima?

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¡Hola Ángela!

Supongamos que se corta a la distancia x, la parte que mide x la destinamos al cuadrado y la que tiene 150-x la destinamos al triángulo equilátero.

El área del cuadrado es sencilla

Ac= (x/4)^2

La del triángulo equilátero es un poco más complicada.

Cada lado medirá (150-x) / 3

En un triángulo equilátero la altura es el lado por sen(60º)

Luego el área del triángulo será

$$\begin{align}&A_t=\frac{\frac{150-x}3·\frac{150-x}3·\frac{\sqrt 3}{2}}{2}=\frac{(150-x)^2 \sqrt 3}{36}\\&\\&\text{El área total es}\\&\\&A(x)=\frac {x^2}{16}+\frac{\sqrt 3·(150-x)^2}{36}\\&\\&\text{derivamos e igualamos a 0}\\&\\&A'(x)=\frac x8-\frac{2 \sqrt 3(150-x)}{36}=0\\&\\&\text{Me da mala espina este ejercicio, antes de}\\&\text{calcular x calcularé la derivada segunda}\\&\\&A''(x)=\frac 18+\frac{2 \sqrt 3}{36}\gt 0\\&\\&\text{lo que suponía, x será un mínimo}\\&\\&\text{Luego el área máxima es con todo cuadrado}\\&\text{o todo triángulo}\\&\\&A_c= \frac{150^2}{4^2}=1406.25\\&\\&\text{Si todo triángulo}\\&\\&A_t= \frac{50·50·sen60º}{2}= 1082.531755\end{align}$$

Luego el área máxima se obtiene destinando todo a cuadrado.

Es extraño este ejercicio, lo lógico es que huboeran preguntado por el área mínima, pero la respuesta es esta.

Y eso es todo, sa lu dos.

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