Cual es la derivada de la función determinante?
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Hola
Quisiera saber como deducir la derivada de la función determinate
$$\begin{align}&\det:\mathbb{R}^{n^2}\longrightarrow\mathbb{R}\end{align}$$gracias de antemano
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1 Respuesta
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¡Hola Armando!
¿De dónde ha salido esta pregunta?
No es una cosa normal y corriente, nunca la he visto. Tendrías que tener en cuenta que la función determinante tiene n^2 variables, luego serían n^2 derivadas parciales lo que tuviera.
Cada una de ellas aparece multiplicada por su adjunto en el determinante ( el adjunto ya incluye el signo + o -)
Este adjunto es un sumatorio de productos de variables de las otras filas y columnas, como no contienen a la variable afectada son una constante multiplicando a la variable y por lo tanto la derivada parcial es el adjunto.
Asi que podemos poner
$$\begin{align}&\frac{\partial|A|}{\partial x_{ij}}= A_{ij}\\&\\&ejemplo:\\&\\&\text{Si la matriz A es:}\\&\\&x_{11}\quad x_{12}\quad x_{13}\\&x_{21}\quad x_{22}\quad x_{23}\\&x_{31}\quad x_{32}\quad x_{33}\\&\\&\frac{\partial |A|}{\partial x_{11}}=x_{22}x_{33}-x_{23}x_{32}\\&\\&\frac{\partial |A|}{\partial x_{12}}=-(x_{21}x_{33}-x_{23}x_{31})\\&\\&....\\&\\&\frac{\partial |A|}{\partial x_{33}}=x_{11}x_{22}-x_{12}x_{21}\\&\\&\text{La matriz de las derivadas parciales no habría que}\\&\text{ponerla } n\times n\text{ sino }1\times n^2\\&\\&\left(\frac{\partial |A|}{\partial x_{11}}\quad \frac{\partial |A|}{\partial x_{12}} \quad \frac{\partial |A|}{\partial x_{13}} \quad \frac{\partial |A|}{\partial x_{21}}\quad \frac{\partial |A|}{\partial x_{22}}...\frac{\partial |A|}{\partial x_{33}} \right)\\&\end{align}$$:
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lo saque del libro de Elon Lages Lima curso de analise vol 2.
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.gracias
en el libro lo dan de frente la derivada y yo quería saber como es que se llega a eso
Sí, es parecido a lo que hice yo, lo que yo llamo
$$\begin{align}&A_{i,j} \\&\\&\text{es lo mismo que el denota con}\\&\\&(-1)^{i+j}X_{|i,j|}\end{align}$$Solo que yo diría que su método ha sido bastante más complejo que el mío, porque la línea donde pone
det'(X)·V = ....
Hay que estar bien desayunado para entenderla.
Saludos.
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