Encontrar una ecuación de la recta tangente a la gráfica...

Tienes que tabular y quedaría algo así 3(2) (5-(2) lo multiplicas por los valores dependiendo de la gráfica y al final lo representas en la gráfica

La pendiente de la recta tangente a una curva está dada por la derivada de la recta en ese punto, para esto, primero voy a reescribir la función para que sea más sencilla de derivar

$$\begin{align}&f(x) = 3x(5-x) = 15x - 3x^2\\&f'(x) = 15 - 6x\\&\text{Y ahora veamos cuanto vale la función y la derivada para x=2}\\&f(2) = 15\cdot 2 - 3 \cdot 2^2 = 30 - 12 = 18\\&f'(2) = 15 - 6\cdot 2 = 15 - 12 = 3 \text{ (este es el valor que tendrá la pendiente de la recta tangente en el punto en cuestión)}\\&\text{La recta será de la forma}\\&y = 2x + b\\&\text{Y sabemos que debe pasar por el punto (2,f(2)), o sea por el punto (2, 18)}\\&18 = 2\cdot 2 + b\\&18 - 4 = b\\&b = 14\\&\text{Ahora ya tenemos toda la información que necesitamos, la ecuación de la recta tangente es:}\\&y = 2x + 14\end{align}$$

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¡Hola Mario!

La ecuación de la recta tangente a una función f(x) en el punto (xo, yo) es:

$$\begin{align}&y=y_0+f'(x_0)(x-x_0)\\&\\&\text{Luego vamos calculando las cosas}\\&\\&f(x) = 3x(5-x) = 15x-3x^2\\&\\&(x_0,y_0)=(2,\; 15·2-3·2^2)=(2,18)\\&\\&f'(x)=15-6x\\&f'(x_0)=f'(2)=15-6·2=3\\&\\&\text{Y ya lo tenemos todo}\\&\\&y=18+3(x-2)\\&\\&y= 18 + 3x -6\\&\\&y=3x +12\end{align}$$

Y aquí está la comprobación de que está bien.

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La pendiente de la recta tangente a la función en un punto es la derivada de la función en ese punto:

$$\begin{align}&Punto \ de \ tangencia:\\&\\&f(x)=3x(5-x)=15x-3x^2\\&\\&f(2)=30-12=18\\&T=(2,18)\\&\\&f'(x)=15-6x\\&\\&f'(2)=15-12=3\\&\\&Ecuación \ Punto-pendiente \ de \ la \ recta:\\&y-y_o=m(x-x_o)\\&\\&y-18=3(x-2)\\&\\&y=3x+12\end{align}$$

Saludos

;)

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