¿Cómo resolver la siguiente ecuación?

;)

Hola Sia!

$$\begin{align}&1.-\\&\\&z^2-2z+2=0\\&\\&z=\frac{2\pm \sqrt{4-8}}{2}=\frac{2 \pm \sqrt {-4}}{2}=\frac{2 \ \pm 2i}{2}=\\&\\&z_1=1+i\\&z_2=1-i\\&\\&2.- \\&P(z)=z^3-2(1+i)z^2+2(1+2i)z-4i\\&\\&P(2i)=8i^3-2(1+i)4i^2+2(1+2i)2i-4i=\\&\\&-8i+8(1+i)+4i(1+2i)-4i=\\&=-8i+8+8i+4i+8i^2-4i=\\&=-8i+8+8i+4i-8i-4i=0\\&\Rightarrow 2i \ es \ una \ raiz \ de \ P(z)\\&\\&b)\\&\\&P(z)=(z-2i)(az^2+bz+c)\\&(z-2i)(az^2+bz+c)=az^3+bz^2+cz-2aiz^2-2biz-2ci\\&\\&z^3-2(1+i)z^2+2(1+2i)z-4i=az^3+(b-2ai)z^2+(c-2bi)z-2ci\\&\\&Igualando \ los \ coeficientes \ complejos \ de \ los \ términos \ del \ mismo \ grado:\\&\\&1=a\\&-2(1+i)=b-2ai  \Rightarrow -2-2i=b-2i \Rightarrow b=-2\\&2(1+2i)=c-2bi \Rightarrow 2+4i=c+4i \Rightarrow c=2\\&-4i=-2ci \Rightarrow c=2\\&\\&c)\\&P(z)=(z-2i)(az^2+bz+c)=(z-2i)(z^2-2z+2)=0\\&Luego \\&z^2-2z+2=0 \Rightarrow\\&z_1=1+i\\&z_2=1-i\\&z_3=2i\end{align}$$

Saludos

;)

;)

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¡Hola Sia!

Sea real o compleja la variable, la fórmula es la misma.

$$\begin{align}&z=\frac{2\pm \sqrt{2^2-4·2·1}}{2}=\frac{2\pm \sqrt{-4}}{2}=\\&\\&\frac{2\pm2 \sqrt{-1}}{2}= 1\pm i\\&\\&\\&2)\\&\\&P(z)=z^3-2(1+i)z^2+2(1+2i)z-4i\\&\\&P(2i)=(2i)^3-2(1+i)(2i)^2+2(1+2i)(2i)-4i=\\&\\&8i^3-2(1+i)·4i^2+4i(1+2i)-4i=\\&\\&\text{Sabemos que }\\&i^2=-1\\&\text{por lo tanto}\\&i^3=i^2·i= -1·i = -i\\&\\&=-8i +8(1+i)+4i+8i^2-4i=\\&\\&-8i+8+8i+4i-8-4i=0\\&\\&b)\\&\text{Ya hemos visto que 2i era una raíz de P luego se puede.}\\&\text{Aquí es medio imposible representar Ruffini}\end{align}$$

Luego habrá que usar Excel

Por lo tanto el polinomio que multiplicado por (z-2i) da P es:

2iz^2 - 2z + 2

a=2i

b=-2

c=2

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c)

Una de las raíces ya la conocemos, es

z1= 2i

Las otras dos son las raíces de este polinomio que nos ha quedado, pero comprobamos que es justo el polinomio del apartado1) que ya calculamos las raíces, por tanto

z2 = 1+i

z3 = 1-i

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