Buena tarde a los expertos, nuevamente pidiendo el apoyo para calcular el área.

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Hola José!

Buscamos donde se cortan las dos funciones:

$$\begin{align}&y=2x\\&y=3x^2\\&\\&2x=3x^2\\&2x-3x^2=0\\&x(2-3x)=0\\&x=0\\&2-3x=0\\&x=\frac{2}{3}\\&A= \int_0^{\frac{2}{3}}(2x-3x^2)dx=\Bigg[x^2-x^3 \Bigg ]_0^{\frac{2}{3}}=\\&\\&=\frac{4}{9}-\frac{8}{27}=\frac{4}{27} =0, \overline {148} \ u^2\end{align}$$

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Saludos

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¡Hola José!

Veo que ya tienes la gráfica, eso será una ayuda.

Veamos cuales son los puntos de intersección, el x=0 se va calro en la gráfica pero calcularemos los dos analíticamente

3x^2 = 2x

3x^2 - 2x = 0

x(3x -2) = 0

x = 0

3x - 2 = 0

x= 2/3

Luego los extremos son 0 y 2/3

También se ve que la función superior es la recta y = 2x, esto no tiene importancia pero queda bonito que el área salga positiva, para ello la función superior debe ser el minuendo y la inferior el sustraendo.

$$\begin{align}&A=\int_0^{\frac 23}(2x-3x^2)dx=  \left[x^2-x^3  \right]_0^{\frac 23}=\\&\\&\frac 49-\frac{8}{27}= \frac{12-8}{27}=\frac{4}{27}\end{align}$$

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