Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas 1er ejercicio de 2
Poner el método para la solución de la ED, usar para encontrar las raíces el método de la división sintética, incluir todos los pasos hasta llegar a la solución.
$$\begin{align}& (d^2 y)/(dx^2 )+dy/dx-2y=2x-40 \cos2x\end{align}$$
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Moropeza!
Es una ecuación lineal no homogénea. Primero calcularemos la solución general de la homogénea mediante la ecuación característica. Y luego sumaremos a esta una solución particular de la ecuación completa que buscaremos usando una función similar al liembro derecho.
$$\begin{align}&y''+y'-2y = 2x -40 \cos 2x\\&\\&k^2+k-2 = 0\\&\\&(k+2)(k-1)=0\\&\\&k_1=-2\\&k_2=1\\&\\&y_{gh}= C_1e^{-2x}+C_2e^{x}\\&\\&\text{Como función de prueba se toma un polinomio del}\\&\text{mismo grado una trigonometrica del mismo ángulo}\\&\text{con seno y coseno}\\&\\&y_{pc}=A+Bx +Csen\, 2x + D \cos 2x\\&y'_{pc}=B +2Ccos 2x -2Dsen\,2x\\&y''_{pc}=-4Csen\,2x-4Dcos 2x\\&\\&\text{llevamos estos valores a la ecuación diferencial}\\&\\&-4Csen\,2x-4Dcos 2x+B +2Ccos 2x -2Dsen\,2x-\\&2(A+Bx +Csen\, 2x + D \cos 2x)=2x-40 \cos 2x\\&\\&-2Bx=2x\implies B=-1\\&B-2A=0\implies -1-2A=0 \implies A= -\frac 12\\&\\&(-4C-2D-2C)sen2x=0\\&(-4D+2C-2D)\cos 2x = -40cos 2x\\&\\&-6C-2D = 0\implies D=-3C\\&-6D+2C= -40\\&18C+2C=-40\\&C=-2\\&D=6\\&\\&\text{Luego la particular de la completa es}\\&y_{pc}=-\frac 12 -x-2 sen\, 2x + 6 \cos 2x\\&\\&\text{Y la general de la completa es}\\& y_{gc}=C_1e^{-2x}+C_2e^{x}-\frac 12-x-2 sen\, 2x + 6 \cos 2x\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$:
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