La matriz identidad es ortogonal ?
¿Osea un ejemplo de matriz ortogonal puede ser la matriz identidad?
1 respuesta
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¡Hola Candy!
Evidentemente la matriz identidad es ortogonal. Si consideras las columnas como vectores, todas ellas tienen módulo 1 y todos los productos escalares de una columna con otra son 0.
Puedes tomar alguna donde los vectores formen 90 grados y no sean los obvios por ejemplo
1 0 0
0 cos30 cos120
0 sen30 sen120
Que sería
1 0 0
0 sqrt(3)/2 -1/2
0 1/2 sqrt(3)/2
Espero que no quiten los espacios en blanco que alinean las columnas, pero pueden hacerlo.
Saludos.
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Muchas gracias profesor, es que en el parcial me saliò un ejercicio que decia que si A es ortogonal entonces su determinante es +1 o -1 y entonces yo lo demostrè con la matriz identidad, si una matriz ortogonal A^t=A^-1, entonces yo le hice la trasnspuesta a la identidad y luego la inversa y hay demostrè que A^t=A^-1, luego le saquè el determinante a A y demostrè que sale 1, luego en una matriz ortogonal puede salir 1 o -1. Y resulta que el profesor me tachò la respuesta y no me la valiò.
Pues no he respondido bien la pregunta. Yo he tomado como definición de ortogonal una de las consecuencias de la definición y no la definición misma. Por definición es ortogonal si y solo si A^t·A=I o si A^t=A^-1 que de las dos formas lo he visto.
Y una de las consecuencias es que los vectores columna forman un sistema ortonormal que es lo que yo tome por definición. Seguro que cuando le dieron importancia a estas matrices fue por lo del sistema ortonormal pero prefierieron definirlo de la otra forma.
Entonces si el problema te pedía demostrar que las matrices ortonormales tienen determinante 1 o - 1, y tú lo que pusiste fue un ejemplo, eso no sirve como demostración.
La demostración sería así, partes de tu definición de ortonormal que es
A^t = A^-1
multiplicas por A a la derecha o a la izquierda daría igual
A^t · A = A^-1·A = I
|A^t·A | = |I| = 1
el determinante dle producto es el producto de los determinantes
|A^t|·|A| = 1
El determinante de la transpuesta es el mismo que el de la matriz
|A|^2 = 1
|A| = 1 ó -1
