Como resolver la integral de la raíz cuadrada de (1-sen(2x))dx

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¡Hola Genesis!

De donde ha salido esta integral, no me suena de las habituales. No sé si habrá algún método especial pero de momento estoy viendo que se puede hacer algo por identidades trigonométricas, aunque le resultado no se parecerá nada a la función de la integral.

$$\begin{align}&\text{Sabemos que}\\&\\&sen \frac a2=\sqrt{\frac{1-cosa}{2}}=\sqrt{\frac{1-sen(\pi/2-a)}{2}}\\&\\&\text{luego}\\&\\&sen a= \sqrt{\frac{1-sen(\pi/2-2a)}{2}}=\sqrt{\frac{1-sen[2(\pi/4-a)]}{2}}\\&\\&sen(\pi/4-x)= \sqrt{\frac{1-sen[2(\pi/4-\pi/4+x)]}{2}}=\\&\\&\sqrt{\frac{1-sen 2x}{2}}\\&\\&\text {luego}\\&\\&\sqrt{1-sen 2x}= \sqrt 2|sen(\pi/4-x)|\\&\\&\int \sqrt{1-sen 2x}\; dx= \sqrt 2\int |sen(\pi/4-x)|\;dx=\\&\\&Si\; \pi/4+2k\pi\le x\le5\pi/4+2k\pi\\&-\sqrt 2\,\cos(\pi/4-x)+C\\&\\&Si \;5\pi/4+2k\pi\le x \le9\pi/4+2k\pi\\&\sqrt 2\,\cos(\pi/4-x)+C\end{align}$$

Y esta sería la gráfica.

Se podría poner en función de 1-sen(2x),  teniendo en cuenta que cos(pi/4-x)=sqrt(1-sen^2(pi/4-x))) y sen(pi/4-x)=sqrt[(1-sen(2x)/2]pero se forma tal lío de signos que ahora no puedo hacerlo.

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Pues no está bien hecha, ya me di cuenta enseguida que si la función raíz cuadrada es siempre positiva la función integral debía crecer siempre. Y ya consultando vi que contradecía el teorema fundamental del cálculo que afirma que si f(x) es integrable en [a, b], la función F(x) definida como la integral definida de f entre a y x es derivable en (a, b). Y esta función no es derivable en ciertos puntos.

Vamos a arreglar eso, pero antes daré algunas expresiones equivalentes para la función que había calculado.

Si intentamos dejar como la raíz cuadrada de algo sería:

$$\begin{align}&F(x)=\sqrt 2\,\cos(\pi/4-x)+C = \sqrt 2·\sqrt{1-sen^2(\pi/4-x)}+C=\\&\\&\sqrt 2·\sqrt{1-\frac{1-sen\, 2x}{2}}+C= \sqrt{1+sen 2x}+C\\&\\&\text{Y tras probar diversas formas de arreglar el signo}\\&\\&F_1(x)=-sgn(sen(2x-\pi/2))·\sqrt{1+sen(2x)}+C\\&\\&\text{donde sgn es la función signo}\\&\\&\text{Analogamente, con la expresión anterior sería}\\&\\&F_2(x)=-sgn(\cos(x-3\pi/4))· \sqrt 2 \cos(x-\pi/4)+C\\&\\&\text{Y también podríamos ponerla como}\\&\\&F_3(x)=sgn(cosx-senx)·(cosx+senx)+C\\&\\&\text{Yo creo que está última es la mejor.}\end{align}$$

Pero esto aunque con una única expresión sigue siendo la misma función de la gráfica.  Sabemos que para ir bie debe ser derivable y siempre creciente.  Para ello vamos a añadir contantes distintas por intervalos, de modo que la función será una especie de escalera.

Dejaremos en su sitio el trozo de (pi/4, 5pi/4) y a los otros habrá que sumarle la amplitud de la función por la distancia entera de trozos al trozo que he dejado fijo.

Donde se ve bien la amplitud es en F_2, es una raíz(2)·cos(...), luego la amplitud será 2·raíz(2). La anchura de cada trozo es pi, dividiendo la distancia a pi/4 entre pi y tomando la parte entera tendremos el número de trozos entre el trozo fijo y el que queremos graficar.

El resultado es esta función:

$$\begin{align}&F(x) = sgn(cosx-senx)·(cosx+senx)+\Bigg\lfloor \frac{ x-\pi/4}\pi\Bigg\rfloor2 \sqrt 2+C\\&\\&\text{donde }\lfloor x\rfloor \text{ es la parte entera de x}\end{align}$$

Y esa es la integral indefinida. Bueno esa y cualquiera que difiera en una constante, mediante ella podrás calcular la integral definida de una forma correcta.

Y eso es todo, espero que te sirva y no olvides valorar la respuesta, que no la vas e encontrar en ningún programa de calculo de integrales.

Saludos.

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