Halla los puntos críticos, los intervalos en donde f es creciente o decreciente y construye la gráfica de
Me piden hallar los puntos críticos, los intervalos en donde f es creciente o decreciente y constuir la gráfica de cada una de las siguientes tres funciones.
$$\begin{align}&f(x)=x^2-2x\\&\\&f(x)=x^3- 3x^2\\&\\&f(x)=x^2/(x^2-4)\end{align}$$
1 respuesta
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¡Hola Ana Belén!
Son varios ejercicios, ganaríamos todos si los mandas de uno en uno.
1)
Los puntos críticos son los que anulan la derivada.
f(x)=x^2-2x
f'(x) = 2x -2 = 0
2x = 2
x =1
Es un mínimo porque es una parábola con forma de U. Otra forma de verlo es con la derivada segunda
f''(x) = 2 >0 ==> mínimo
Y el punto crítico es (1, 1^2-2·1) = (1, 1-2) = (1,-1)
Y respecto al crecimiento o decrecimiento podemos aplicar de nuevo que es una parábola con forma de U, por lo que es decreciente hasta el mínimo y creciente después.
(-Infinito, 1) decreciente
(1, infinito) creciente.
Pero la forma general de hacerlo es con el signo de la derivada primera.
f'(x)=2x-2
Ya vimos que en x=1 valía 0. Tomamos un punto del intervalo anterior a x=1, por ejemplo 0
f'(0) = 2·0 - 2 = -2 < 0
Como la derivada es negativa, la función es decreciente en el intervalo
(-infinito, 1) decreciente
Y tomamos un punto del intervalo posterior, por ejemplo x=2
f'(2) = 2·2-2= 4-2 = 2 > 0
cono la derivada es positiva, la función es creciente en el intervalo
(1, + infinito) creciente
Algún dato más para la gráfica son los cortes con los ejes
x^2-2x=0
x(x-2) = 0
Y los cortes con el eje X sonson x=0, x=2
Y el corte con el eje Y es en y=0^2-2·0=0-0=0
Esta es la gráfica.
Y eso es todo, saludos.
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