Calcular la siguiente integral ∫_2^6▒〖x/√(5x^2+1) dx〗

;)
Hola betsabe!
Esa integral se hace por cambio de variable:

$$\begin{align}&5x^2+1=t\\&10xdx=dt\\&xdx=\frac{dt}{10}\\&x=2 \Rightarrow t=21\\&x=6 \Rightarrow t=181\\&\\&\int_2^6  \frac{x}{\sqrt{5x^2+1}}dx= \int_{21}^{181}  \frac{1}{\sqrt t}\frac{dt}{10}= \frac{1}{10}\int_{21}^{181} t^{\frac{-1}{2}}dt=\\&\\&\frac{1}{10} \Bigg [\frac{t^{\frac{-1}{2}+1}}{\frac{-1}{2}+1} \Bigg ]_{21}^{181}=\frac{1}{10} \Bigg [\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \Bigg ]_{21}^{181}=\frac{1}{10}·\frac{1}{\frac{1}{2}} \Big [ \sqrt t \Big ] _{21}^{181}=\frac{1}{5}(\sqrt {181}-\sqrt {21})\\&\\&\simeq1.77420967\end{align}$$

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¡Hola Betsabé!

Se resulelve por cambio de variable con cambio simultáneo de los límites de integración para no tener que deshacer el cambio al final.

$$\begin{align}&\int_2^6 \frac{x\,dx}{\sqrt{5x^2+1}}  =\\&\\&t=5x^2+1\\&dt=10x\,dx\implies x\,dx=\frac{1}{10}dt\\&x=2\implies t=5·2^2+1=21\\&x=6\implies t=5·6^2+1=181\\&\\&=\int_{21}^{181}\frac 1{10}·\frac{1}{\sqrt t}dt=\\&\\&\frac 1{10}\int_{21}^{181}t^{-\frac 12}dt=\\&\\&\left.\frac 1{10} \frac{t^{\frac 12}}{\frac 12} \right|_{21}^{181}=\left.\frac{\sqrt t}{5}\right|_{21}^{181}=\frac{\sqrt{181}-\sqrt{21}}{5}\end{align}$$

 Y eso es todo, saludos.

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