¿Problema de optimización en función de una curva?
La verdad, llevo mucho tiempo dándole vueltas pero estoy muy perdido, si alguien me puede ayudar ni que sea a orientarme o algo porque :S ando muy perdido. Lo único que se es que la función que me dan es la función a optmizar.
El enunciado es el siguiente:
El área comprendida por una curva y el eje OX viene dada por la función A(X)=( 1+x^2)/x
$$\begin{align}&(1+x^2)/x\end{align}$$donde A es el area en funcion de una variable llamada "x". ¿Por que valor de "x" el area es màxima? ¿Y minima? Compruebalo
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¡Hola Victor!
Para calcular los máximos o mínimos relativos lo primero es derivar la función e igualarla a 0
$$\begin{align}&A(x)= \frac{1+x^2}x\\&\\&A'(x)=\frac{2x·x-(1-x^2)}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}=1-\frac{1}{x^2}=0\\&\\&\text{Para calcular las raíces se hace mejor usando}\\&\text{la expresión penúltima}\\&\\&x^2-1=0\\&\\&x^2=1\\&x=\pm 1\\&\\&\text{Para saber si es máximo o mínimo se usa la}\\&\text{la derivada segunda. Para obtenerla es mejor usar}\\&\text{la ultima expresión de A'(x)}\\&\\&A'(x) = 1-\frac 1{x^2}=1-x^{-2}\\&\\&A''(x)=2x^{-3}=\frac{2}{x^3}\\&\\&A'(-1) = \frac{2}{(-1)^3}=-2\lt 0\implies máximo\; relativo\\&\\&A(-1) = \frac{1+(-1)^2}{-1}=-2\\&\\&A'(1) = \frac 2{1^3}=2\gt 0\implies mínimo\;relativo\\&\\&A(1)=\frac{1+1^2}{1}=2\end{align}$$Ahora bien, máximos o mínimos relativos no tienen porque ser los absolutos, hay que comparar también con los valores de la función en los puntos donde no es derivable y con los extremos del intervalo a considerar o con los límites en más o menos infinito
Y en esta función no es derivable en cero y los límites en 0 son -infinito por la izquierda y +infinito por la derecha.
Y el límites en -infinito es -infinito y en + infinito es +infinito.
Luego la función no tiene ni mínimo ni máximo absoluto, se pueden obtener valores tan altos o bajos como queramos.
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1 respuesta más de otro experto
;)
Hola Victor!
Si te dan la función a optimizar es muy fácil, solo tienes que calcular los extremos relativos
(Derivada igual a cero) y luego ver que pasa en los extremos del intervalo del Dominio de definición:.
Como es un área A(x) se supone que x será una dimensión, luego DomA(x)=(0,+infinito)
Vamos que x es un número positivo.
Calculemos los extremos relativos:
$$\begin{align}&A(x)=\frac{1+x^2}{x}\\&\\&A'(x)=\frac{2x·x-(1+x^2)·1}{x^2}=\frac{2x^2-1-x^2}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}\\&\\&A'(x)=0 \rightarrow \frac{x^2-1}{x^2}=0 \Rightarrow x^2-1=0\\&\\&x=\pm \sqrt 1= \pm 1\\&x=-1 \ no \ está \ en º el \Domf\\&\\&x=1\\&Veamos \ con \la \ segunda \ derivada \ si \es \ Max\ \ o \ min\\&\\&A''(x)=\frac{2x·x^2-(x^2-1)2x}{x^4}=\frac{2x}{x^4}=\frac{2}{x^3}\\&\\&A''(1)=2>0 \Rightarrow mínimo\\&\\&Por \ otro \ lado \ en \ los \ extremos \ del\ DomA(x):\\&\\&\lim_{x \to 0^+}A(x)= \lim_{x \to 0^+}\frac{1+x^2}{x}=\frac{1}{+0}=+\infty\\&\\&\lim_{x \to +\infty}A(x)= \lim_{x \to +\infty}\frac{1+x^2}{x}=\frac{+\infty}{+\infty}=\lim_{x \to +\infty}\frac{x^2}{x}=\lim_{x \to +\infty}x=+\infty\\&\\&\end{align}$$luego no tiene óptimo máximo ya que cuanto más grande es x,o bien cuanto más pequeño (tiende a cero) elArea se hace infinita
ElArea mínima en x=1 A(1)=2 unidades ^2
Saludos
;)
;)
;)
Te adjunto la gráfica de A(x)
;)Solo sirve el trozo de la derecha(x>0)
;)
;)