Determinar una segunda solución de una ecuación diferencial y una solución particular...

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¡Hola Mila!

El método de reducción de orden consiste en tomar la segunda respuesta como la primera multiplicada por una función u(x). Entonces se sustituyen valores en la ecuación homogénea y se calcula esa función u(x)

$$\begin{align}&y_2= u(x)·e^x\\&\\&\text{Calculamos las derivadas para sustituir en la ecuación}\\&\\&y_2'= u'(x)·e^x+u(x)e^x = [u'(x)+u(x)]e^x\\&\\&y_2''=[u''(x)+u'(x)]e^x+[u'(x)+u(x)]e^x=\\&\\&[u''(x)+2u'(x)+u(x)]e^x\\&\\&\text{Sustituyendo en la homogénea}\\&\\&[u''(x)+2u'(x)+u(x)]e^x-4 [u'(x)+u(x)]e^x+3u(x)e^x=0\\&\\&[u''(x)-2u'(x)]e^x=0\\&\\&\text{Hacemos el cambio de variable}\\&\\&u'=v\\&u''=v'\\&(v'-2v)e^x = 0\\&\\&v'-2v = 0\\&\\&\text{La ecuación característica es}\\&\\&k-2=0\\& k=2\\&\\&\text{luego una solución por ejemplo es}\\&\\&v=2e^{2x}\\&\\&\text{Como } \frac {du}{dx}=v\implies du=v\;dx\implies\\&\\&u(x)=\int v\;dx =\int 2e^{2x}dx= e^{2x}\\&\\&y_2=u(x)·e^x=e^{2x}e^x= e^{3x}\\&\\&\text{Ya está lo primero}\\&\\&\text{Y para la particular de la no homogénea se prueba con}\\&\\&y_p=Ax+B\\&y'_p=A\\&y''_p=0\\&-4A +3Ax+3B = x\\&\\&3A=1\implies A=\frac 13\\&\\&-4A+3B = 0\\&\\&-\frac 43+3B= 0\\&\\&3B = \frac 43\\&\\&B=\frac 49\\&\\&y_p= \frac x3+\frac 49\end{align}$$

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Hola mila cu!

la segunda solución será del tipo y_2=u(x)e^x

Que se deriva y se sustituye en la Ecuación Diferencial:

$$\begin{align}&y_2=u(x)·e^x\\&y_2'=u'(x)·e^x+ue^x\\&\\&y_2''=u''e^x+u'e^x+u'e^x+ue^x\\&\\&sustituyendo  \ en\\&y''-4y'+3y=0\\&\\&u''e^x+u'e^x+u'e^x+ue^x-4(u'(x)·e^x+ue^x)+3ue^x=0\\&\\&e^xu''-2e^xu'=0\\&cambio \ variable:\\&u'=v\\&u''=v'\\&e^xv'-2e^xv=0\\&\\&Variables \ separables:\\&e^x \frac{dv}{dx}-2e^xv=0\\&\\&e^x \frac{dv}{dx}=2e^xv\\&\\&\frac{dv}{v}=2dx\\&\\&\int \frac{dv}{v}= \int 2 dx\\&\\&lnv =2x+C\\&v=e^{2x+C}\\&\\&v=e^{2x}e^{C}\\&\\&v=C_1e^{2x} \Rightarrow u'= C_1e^{2x} \Rightarrow \frac{du}{dx}=C_1e^{2x} \Rightarrow du=C_1e^{2x} dx\\&\\&\int  du=\int C_1e^{2x} dx\\&\\&u=C_1 \frac{e^{2x}}{2}+C_2\\&\\&u(x)=Ce^{2x}+C_2\end{align}$$

saludos

;)

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