¿Cómo identifico qué integral es y cómo resolver?
$$\begin{align}&\int \frac{5x+3}{x^2-10x+30} dx\\&\\&\int_0^2 \frac{dx}{\sqrt[] {(x^2 +3x+3)^5}}\end{align}$$¿Cómo sé qué método de integración debo usar para resolver integrales, como en estos casos que no se si hacer sustitución cambiando variable o sustitución trigonmétrica? Podrías ayudarme al menos a comenzar. Estoy muy confundido con esto.
1 respuesta
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¡Hola Guystudy!
La primera es para resolver por fracciones parciales. Por lo que veo las raices del denominador serán complejas por lo que la fracción parcial será
(Ax+b) / (x^2-10x+30) y eso te dara un logaritmo y un arcotangente.
La segunda debe ser supercomplicada, sería cuesión de intentarla con un cambio hiperbólico (o trigonométrico pero peor) tras completar cuadrados, pero ahora mismo no te puedo decir cómo será de fácil.
Y ahora no puedo hacerlo, tengo que irme y cuando vuelva tengo otras preguntas pendientes, cuando pueda las hago si se puede.
Saludos.
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Gracias, el problema es que aun no me han enseñado fracciones parciales ni cambio hiperbólico. Solo me han enseñado sustituciones cambiando la variable y sustituciones trigonométricas. Así que creo que es una es de cada una. ¿Pero no sé como identificar cual es cual?
Vale, corrijo. La primera tenía la apariencia de fracciones parciales, pero es que en realidad ya es una de las fracciones simples, luego hay que resolverla por cambios de variable, pero antes hay que adaptarla como suma de la integral de un logaritmo neperiano y un arcotangente, no es corto ni inmediato.
$$\begin{align}&\int \frac{5x+3}{x^2-10x+30}dx=\\&\\&\text{Debemos hacer que el término en x del }\\&\text{numerador sea la derivada del denominador}\\&\text{mediante multiplicaciones y divisiones por lo mismo.}\\&\text{Sacamos el 5 fuera, como si fuera factor común}\\&\\&=5\int \frac{x+\frac 35}{x^2-10x+30}dx=\\&\\&\text{multiplicamos por 2 dentro y dividimos por 2 fuera}\\&\\&\frac 52\int \frac{2x+\frac 65}{x^2-10x+30}dx=\\&\\&\text{Ahora ponemos un -10 en el numerador tras 2x}\\&\text{para que salga la derivada del denominador.}\\&\text{Y lo que habia y un +10 para otra integral}\\&\\&\frac 52\int \frac{(2x -10)+\left(10+\frac 65\right)}{x^2-10x+30}dx=\\&\\&\frac 52\int \frac{(2x -10)dx}{x^2-10x+30}+\frac 52\int \frac{10+\frac 65}{x^2-10x+30}dx=\\&\\&\text{la primera es un logaritmo neperiano a la vista,}\\&\text{yo no pondría el cambio de variable}\\&\\&=\frac 52ln|x^2-10x+30|+\frac{5}{2}·\frac{56}{5}\int \frac{dx}{x^2-10x+30}\\&\\&\text{me centro ya en la segunda, completo cuadrados}\\&\text{en el denominador}\\&\\&28\int \frac{dx}{(x-5)^2-25+30}= 28\int \frac{dx}{(x-5)^2+5}\\&\\&\text{saco el 5 fuera, aprovecho para meterlo dentro}\\&\text{del binomio al cuadrado, hay que ahorrar pasos}\\&\text{porque el ordenador ya no puede con tanta fórmula}\\&\\& \frac{28}5\int \frac{dx}{\left(\frac{x-5}{\sqrt 5}\right)^2+1}=\\&\\&\text{es la derivada de un arcotangente a falta de la}\\&\text{la derivada de } \frac{x-5}{\sqrt 5}\text{en el numerador}\\&\\&\frac{28}5·\sqrt 5\int \frac{\frac{1}{\sqrt 5}dx}{\left(\frac{x-5}{\sqrt 5}\right)^2+1}=\\&\\&\frac{28 \sqrt 5}{5}arctg\left(\frac{x-5}{\sqrt 5}\right)+C\\&\\&\text{Luego la integral completa es}\\&\\&\frac 52ln|x^2-10x+30|+\frac{28 \sqrt 5}{5}arctg\left(\frac{x-5}{\sqrt 5}\right)+C\\&\end{align}$$Cuida, no simplifiques el 5 con la raíz de 5 que a algún profesor no le gustan los denominadores irracionales, pero es lo sabrás tú mejor del tuyo.
Y como puedes ver el trabajo es grandisimo, la otra integral debe ir en una pregunta nueva.
Saludos.
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