Algunos problemas de Limites al infinito

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¡Hola Panchita!

$$\begin{align}&\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x^2-1}}{2x+1}=\\&\\&\text{meteremos el denomindor dentro de la raíz}\\&\\&\lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{(2x+1)^2}}=\lim_{x\to \infty}\sqrt{\frac{x^2-1}{(2x+1)^2}}=\\&\\&\lim_{x\to \infty}\sqrt{\frac{x^2-1}{4x^2+4x+2}}=\\&\\&\text{Ahora divido todo por } x^2\\&\\&\lim_{x\to \infty}\sqrt{\frac{1-\frac 1{x^2}}{4+\frac 4x+ \frac 2{x^2}}}=\\&\\&\text{las constantes divididas por }x, x^2,...\text{tienden a 0}\\&\\&\sqrt{\frac{1-0}{4+0+ 0}}= \sqrt{\frac 14}= \frac 12\\&\\&----------------------\\&\\&\lim_{x\to \infty} \sqrt{\frac{x^2-4}{x-2}}=\\&\\&\text{el numerador es el producto notable}\\&a^2-b^2=(a+b)(a-b)\\&\\&\lim_{x\to \infty} \sqrt{\frac{(x+2)(x-2)}{x-2}}=\\&\\&\text{simplificamos}\\&\\&\lim_{x\to \infty} \sqrt{x+2}=\sqrt{\infty}=\infty\\& \\&\end{align}$$

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