Si la serie para ln(x) centrada en x=1 se corta después del termino que comprende a (x-1)^1000 y después se utiliza para cal...
Pregunta:
Si la serie para ln(x) centrada en x=1 se corta después del termino que comprende a (x-1)^1000 y después se utiliza para calcular ln(2) ¿Qué cota se puede imponer al error?
1 Respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Patricio!
Veamos cuáles son las derivadas del logaritmo neperiano en x=1
$$\begin{align}&f(x)=lnx\\&\\&f'(x)=\frac 1x = x^{-1}\\&\\&f''(x)=-x^{-2}\\&\\&f'''(x)=2x^{-3}\\&\\&f^{(4)}x=-6x^{-4}\\&\\&f^{(n)}(x)= -(1)^{n+1}·(n-1)!x^{-n}\\&\\&\text{el desarrollo en x=1 es}\\&\\&ln(x)=ln(1)+(x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}+...+ (-1)^{n+1}·\frac{(x-1)^n}{n}+...\\&\\&ln(x) = \sum_{i=1}^n (-1)^{n+1}\frac{(x-1)^n}{n}+(-1)^{n+2}\frac{(x-1)^{n+1}}{n+1}\xi^{-(n+1)};\qquad \xi\in(1,x)\\&\\&\text{Cortando en 1000 el error es}\\&\\&E(x)=\frac{(x-1)^{1001}}{1001}\xi^{-(1001)}=\frac{(x-1)^{1001}}{(1001)\xi^{1001}}\\&\\&\text{Esto es mayor cuanto menor es }\xi\\&\text{Para }\xi \in(1,2)\text{ tomaremos }\xi=1\\&\\&E(2)\le \frac{(2-1)^{1001}}{1001·1^{1001}}=\frac{1}{1001}\end{align}$$Es que nos hemos separado mucho de 1 para esta función, por eso la cota es tan mala.
Y eso es todo, saludos.
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