Hallar el siguiente limite con raíz cuadrada
$$\begin{align}&\lim_{x\to∞}\sqrt{3x}+2-x\end{align}$$Por favor ayuda con esta expresión cuando x tiende a infinito
2 respuestas
;)
Hola Mónica!
Se puede hacer de diferentes maneras.
Una de ellas, directamente, ya que da la indeterminación infinito-infinito; pero el infinito que resta es de mayor orden (crece más rápido).
Las potencias a mayor exponente mayor orden:
$$\begin{align}&\sqrt{3x} \rightarrow x^{\frac{1}{2}}\\&\\&x^1\end{align}$$con lo cual acaba dando -infinito
;)
Multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada
$$\begin{align}&\lim_{x \to \infty}\sqrt{3x}+2-x= \infty-\infty=\\&\\&\lim_{x \to \infty}(\sqrt{3x}+2-x)\frac{\sqrt{3x}-(2-x)}{\sqrt{3x}-(2-x)}=\\&\\&\\&\lim_{x \to \infty} \frac{[\sqrt{3x}+(2-x) ][\sqrt{3x}-(2-x)]}{\sqrt{3x}-(2-x)}=\\&\\&\lim_{x \to \infty} \frac{[(\sqrt{3x})^2-(2-x)^2 }{\sqrt{3x}-(2-x)}=\\&\\&\lim_{x \to \infty} \frac{3x-(2-4x+x^2)}{\sqrt{3x}-(2-x)}=\\&\\&\lim_{x \to \infty} \frac{7x-2-x^2}{\sqrt{3x}-2+x}= \frac{-\infty}{\infty}=-\infty\\&por \ ser \\&gradonumerador>gradodenominador\\&\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$;)
;)
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¡Ho_la Mónica!
Sabemos que es -infinito porque en los infinitos hay categorías, en un límite cuando x tienda a infinito el que manda es que tiene mayor grado y la raíz cuadrada tiene grado 1/2 mientras que x tiene grado 1.
Pero como supongo que esto no te lo habrán enseñado vamos a resolverlo de otra forma. Y casi siempre que hay una raíz cuadrada con otra cosa hay que multiplicar y dividir por el conjugado.
$$\begin{align}&L=\lim_{x\to +\infty} (\sqrt{3x}+2-x)=+\infty+2-\infty=+\infty-\infty\\&\\&\text {que es una indefinición}\\&\\&L=\lim_{x\to \infty} \frac{\left(\sqrt {3x}+(2-x)\right)\left(\sqrt{3x}-(2-x) \right)}{\sqrt{3x}-(2-x)}=\\&\\&\lim_{x\to \infty} \frac{3x-(2-x)^2}{\sqrt{3x}-2+x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x-4+4x-x^2}{\sqrt{3x}-2+x}=\\&\\&\lim_{x\to+\infty}\frac{-x^2+7x-4}{\sqrt{3x}-2+x}=\\&\\&\text{podríamos decir que es -infinito por ser mayor}\\&\text{el grado del numerador. Pero si al principio no}\\&\text{no quisimos usar que era mayor el grado de uno}\\&\text{de los sumandos, tampoco usaremos esto ahora}\\&\text{dividimos todo por x, dentro de la raíz es dividir por }x^2\\&\\&=\lim_{x\to\infty} \frac{-x+7-\frac 4x}{\sqrt{\frac 3x}-\frac 2x+1}=\\&\\&\text{donde se divide por } x\;o\;x^2\text{ tiende a 0}\\&\\&=\frac{-\infty+7+0}{0-0+1}=\frac{-\infty+7}{1}=-\infty\end{align}$$Y eso es todo.
De todas formas me parece que a lo mejor no escribiste bien el límite porque hay otro similar que funciona por aquí con la únoica diferencia de que el 2 está metido dentro de la raíz. Se resuelve algo distinto pero el resultado es el mismo.
Saludos.
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