Como se resuelven los siguientes limites?

En general cuando tenés el límite con un cociente de polinomios que queda una indeterminación 0/0, lo que puedes hacer es dividir ambos polinomios por (x - límite), de esta forma podrás simplificar esos términos y evaluar lo que queda, en caso que siga siendo 0/0 vuelves a aplicar este método. Dicho "matematicamente" sería algo más o menos:

$$\begin{align}&\lim_{x \to a} \frac{P(x)}{Q(x)} = \lim_{x \to a} \frac{(x-a) \cdot P_1(x)}{(x-a) \cdot Q_1(x)} =\lim_{x \to a} \frac{P_1(x)}{Q_1(x)}\\&\text{En este caso}\\&\lim_{x \to -1} \frac{x^2+2x+1}{x+1} = \text{Se ve que el numerador es un trinomio cuadrado perfecto}\\&\lim_{x \to -1} \frac{(x+1)^2}{x+1} = \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)}{1} = 0\\&---\\&\lim_{x \to 2} \frac{x^4-16}{x^3-8} = (usando \ Ruffini)\\&\lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x^3+2x^2+4x+8)}{(x-2)(x^2+2x+4)}= \\&\lim_{x \to 2} \frac{(x^3+2x^2+4x+8)}{(x^2+2x+4)}=\frac{32}{12}=\frac{8}{3}\end{align}$$

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¡Hola Mónica!

Por el teorema del resto, si un polinomio es tal que p(a) = 0

Entonces es divisible por (x-a)

En eso se basan estos límites en simplificar factores (x-a) del numerador y denominador hasta conseguir que uno o los dos dejen de valer 0.

$$\begin{align}&L=\lim_{x\to -1}\frac{x^2+2x+1}{x+1}=\frac{1-2+1}{-1+1}=\frac 00\\&\\&\text{vemos que el numerador es el cuadrado de un binomio}\\&\\&L=\lim_{x\to-1} \frac{(x+1)^2}{x+1}=\lim_{x\to -1}(x+1)=-1+1=0\\&\\&----------------------\\&\\&\text{En este haremos uso de varios productos notables}\\&\\&L=\lim_{x\to 2}\frac{x^4-16}{x^3-8}=\frac{16-16}{8-8}=\frac 00\\&\\&\text{arriba es la diferencia de cuadrados de siempre}\\&\text{abajo es este otro producto notable}\\&a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\&\\&L=\lim_{x\to 2}\frac{(x^2+4)(x^2-4)}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\\&\\&\text{y arriba aun hay un producto notable}\\&\\&\lim_{x\to 2}\frac{(x^2+4)(x+2)(x-2)}{(x-2)(x^2+2x+4)}=\\&\\&\text{Y ahora ya podemos simplificar (x-2)}\\&\\&\lim_{x\to 2}\frac{(x^2+4)(x+2)}{(x^2+2x+4)}=\frac{(4+4)(2+2)}{4+4+4}=\frac {32}{12}= \frac{8}{3}\\&\end{align}$$

Salu_dos

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