Determinar Derivadas parciales y plano tangente

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¡Hola Brian!

Tenemos una función F de R5 en R3

F(x, y, z, u, v) = (x-u^2-v^2, y-u^2+v^2, z-uv) es una función de clase C^(înfinito)

En el punto (2,0,1,1,1) su valor es

F(x,y,z,u,v)=(2-1^2-1^2,  0 -1+1, 1-1·1)= (0,0,0)

El jacobiano de las derivadas de F respecto x,y,z es

| 1  0  0 |

| 0  1  0 | = 1 distinto de 0

| 0  0   1|

Por el teorema de la función implícita

$$\begin{align}&x=u^2+v^2\\&y=u^2-v^2\\&\\&x+y=2u^2\implies u^2=\frac {x+y}2\\&\\&x-y=2v^2\implies v^2 =\frac {x-y}2\\&\\&z=uv\implies z^2=u^2·v^2\implies \\&z^2=\frac{x+y}{2}·\frac{x-y}2=\frac{x^2-y^2}{4}\\&\\&\text{Tomo la función}\\&\\&F:\mathbb R^3\to\mathbb R\\&\\&F(x,y,z)= z^2-\frac{x^2-y^2}{4}  \\&\\&\text{es de clase } C^{\infty}\\&\\&F(2,0,1) = 1-\frac{2^2-0^2}{4}=1-1=0\\&\\&\text{El jacobiano de F respecto a z es}\\&\\&\left| \frac{ \partial F(2,0,1)}{\partial z}  \right|=|2z|=|2·1|=2\\&\\&\text{Por el teorema de la función implicita, z es una función}\\&\text{de x y y en un entorno de (2,0,1)}\\&\\&-------------------\\&\\&\text{ Como}\\&z^2=\frac{x^2-y^2}{4} \\&\\&2z· \frac{\partial z}{\partial x}=\frac x2\\&\\& \frac{\partial z}{\partial x}=\frac{x}{4z}\implies  \frac{\partial z}{\partial x}\bigg|_{(x,y,z)=(2,0,1)}=\frac{2}{4·1}=\frac 12\\&\\&\\&2z· \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac y2\\&\\& \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{y}{4z}\implies  \frac{\partial z}{\partial y}\bigg|_{(x,y,z)=(2,0,1)}=-\frac{0}{4·1}=0\\&\\&----------------------\\&\\&\text{La ecuación del plano tangente es}\\&z-z_0=\frac{\partial z(x_0,y_0)}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial z(x_0,y_0)}{\partial y}(y-x_0)\\&\\&z-1=\frac 12(x-2)+0(y-0)\\&\\&z=\frac 12x\end{align}$$

Y eso es todo, en este tema no me pidas mucho más que lo llevo con alfileres.

Salu_dos.

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