Encuentre todas las soluciones de la ecuación trigonométrica cos^2xsenx-cos^2x-1/4senx+1/4=o , x pertenece [0,2pi)

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Hola Anyara!

Aplicando la Fórmula Fundamental de la trigonometría, lo dejaremos todo en función del senx

$$\begin{align}&sen^2x+\cos^2x=1 \Rightarrow sen^2x=1-\cos^2x\\&\\&\cos^2x·senx-\cos^2x- \frac{1}{4}senx+ \frac{1}{4}=0\\&(1-sen^2x)senx-(1-sen^2x)- \frac{1}{4} sen x+\frac{1}{4}=0\\&\\&senx-sen^3x-1+sen^2x-\frac{1}{4}senx+ \frac{1}{4}=0\\&\\&multiplicándola \ por \ 4:\\&4senx-4sen^3x-4+4sen^2x-senx+1=0\\&trasponiendo \ terminos \ a \ la \ \ derecha \ y \ agrupándolos:\\&0=4sen^3x-4sen^2x-3senx+3\\&\\&Cambio \ Variable:\\&senx=z\\&4z^3-4z^2-3z+3=0\\&Ruffini:\\&\\&\end{align}$$

            4            -4            -3            3

1______________4_______0________-3______

           4            0            -3             0

$$\begin{align}&4z^2-3=0\\&\\&z=\sqrt{\frac{3}{4}}= \pm \frac{\sqrt 3}{2}\\&z=1\\&Tenemos \ tres \ soluciones:\\&\\&z=senx=1 \Rightarrow x=90º \rightarrow \frac{\pi}{2} rad\\&\\&z=senx=\frac{\sqrt 3}{2} \Rightarrow x=60º \rightarrow \frac{ \pi}{3} rad\\&\\&x=120º \rightarrow x= \frac{2 \pi}{3} rad\\&\\&z=senx=- \frac{\sqrt 3}{2} \\&\rightarrow x=-60º=300º  \rightarrow x=\frac{5 \pi }{6} rad\\&\\&\rightarrow x=240º \rightarrow x= \frac{4 \pi}{3} rad\end{align}$$

saludos

;)

;)

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¡Ho_la Anyara!

$$\begin{align}&\cos^2x·senx-\cos^2x-\frac 14 senx+\frac 14=0\\&\\&\text{Como }\cos^2x = 1-sen^2x\\&\\&(1-sen^2x)·senx-(1-sen^2x)-\frac 14 senx+\frac 14=0\\&\\&senx-sen^3x-1+sen^2x-\frac 14 senx+\frac 14 = 0\\&\\&-sen^3x+sen^2x+\frac 34 senx -\frac 34=0\\&\\&\text{multiplico por (-4)}\\&\\&4sen^3x - 4 sen^2x-3senx+3=0\\&\\&\text{llamando }y=senx\\&\\&4y^3 - 4y^2-3y+3=0\\&\\&\text{por el teorema de la raíz racional, si existe una }\\&\text{raíz racional sera de la forma}\\&r=\frac{m}{n}  con\; m |3\quad  \text{y}\quad n|4\\&\\&\text{La lista de raíces racionales posibles es}\\&R=\left\{1,-1,3,-3,\frac 12,-\frac 12,\frac 32,-\frac 32,\frac 14, -\frac 14,\frac 34,-\frac 34\right\}\\&\\&\text{Pero se ve a la legua que 1 es raíz, no sé para qué tanta teoría}\end{align}$$

$$\begin{align}&txt{y queda}\\&\\&4y^2-3 =0\\&\\&4y^2=3\\&\\&y^2=\frac 34\\&\\&y=\pm \frac{\sqrt 3}{2}\\&\\&\text{Luego los ángulos son}\\&\\&x_1=arcsen \;1= \frac \pi 2 rad\\&\\&x_2=arcsen \frac{\sqrt 3}{2}=\frac {\pi}{3}rad\\&\\&\text{el suplementario tiene el mismo seno}\\&\\&x_3= \pi-arcsen \frac{\sqrt 3}{2} = \pi -\frac \pi 3=\frac {2\pi}{3}rad\\&\\&x_4 =arcsen \left(-\frac{\sqrt 3}{2}\right)=\frac{5\pi}{3}rad\\&\\&\text{y el suplementario pero a }3\pi \;rad\\&\\&x_5=3\pi-\frac{5\pi}{3}=\frac {4\pi}{3} rad\end{align}$$

Salu_dos.

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