¿Cómo encontrar la función f sabiendo sus derivadas parciales?
Conociendo que
$$\begin{align}&f_x(x,y)=4^3y^2-3y^4 , f_y(x,y)=2x^4y-12xy^3 , f(2,2)=0\end{align}$$encontrar un funcion f que tenga estas derivas y que pase por el punto f(2,2)=0
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Brian!
Esto es similar a la resolución de ecuaciones diferenciales exactas, no sé si lo habrás dado ya.
Integramermos la derivada parcial que veamos más fácil respecto de su variable. Creo que integrará la parcial de x. El secreto está en que como constante de integración hay que poner una función completa de la otra variable. Me parece que te dejaste una x sin poner, yo la pondré
$$\begin{align}&f(x,y)=\int f_x(x,y)dx=\int(4x^3y^2-3y^4)dx =\\&\\&x^4y^2-3xy^4+\varphi(y)\\&\\&\text{Derivándola respecto de y tiene que dar la }f_y(x,y)\\&\text{que nos dieron}\\&\\&2x^4y-12xy^3+\varphi'(y) = 2x^4y-12xy^3\\&\\&\text{Ha habido suerte queda}\\&\\&\varphi'(y)=0\\&\\&\varphi(y) = C\\&\\&\text{luego la solución general es}\\&\\&f(x,y) = x^4y^2-3xy^4+C\\&\\&\text{hagamos que }f(2,2)=0\\&\\&f(2,2)=16·4-3·2·16+C=0\\&64-96+C=0\\&C=32\\&\\&\text{Luego la particular es}\\&\\&f(x,y)= x^4y^2-3xy^4+32\end{align}$$Y eso es todo, salu_dos.
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¡Gracias! Valero! .. Ayer rendí el primer examen de análisis 2 y me fue bien ! Saludos
Me alegro, sigue aprendiendo.
