Determinar la suma de Riemann en un intervalo

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¡Ho_la Lupita!

La suma de Riemann es el límite de un suma infinita.

$$\begin{align}&S=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f(x_i)\Delta x_i\\&\\&\text{siendo }P=\{a=x_o,x_1,x_2,...,x_n=b \} \\&\text{una partición del intervalo }[a,b]\\&\\&\text{haciendo iguales los }\Delta x_i=x_i-x_{i-1} \text{ tenemos}\\&\\&S=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n f\left(a+i·\frac{b-a}{n}\right)·\frac{b-a}{n}=\\&\\&\lim_{n\to\infty}\frac{b-a}{n}·\sum_{i=1}^n f\left(a+i·\frac{b-a}{n}\right)\\&\\&\text{en nuestro caso}\\&\\&\frac{b-a}{n}=\frac{3-(-3)}{n}=\frac 6n\\&\\&f\left(a+i·\frac{b-a}{n}\right)=f\left(-3+\frac{6i}n  \right)=\\&\\&\left(-3+\frac{6i}n  \right)^2-6=\\&\\&9-\frac{36}{n}i+\frac{36}{n^2}i^2-6=\\&\\&3-\frac{36}{n}i+\frac{36}{n^2}i^2\\&\\&\text{Y la suma de Riemann es}\\&\\&S=\lim_{n\to \infty}\frac 6n\sum_{i=1}^{n}\left(3-\frac{36}{n}i+\frac{36}{n^2}i^2 \right)=\\&\\&\lim_{n\to \infty}\frac 6n\left(3n-\frac{36}{n}\sum_{i=1}^{n}i+\frac{36}{n^2}\sum_{i=1}^{n}i^2  \right)=\\&\\&\text{El sumatorio de los primeros naturales lo podemos}\\&\text{deducir, es la suma de una sucesión aritmética}\\&\text{Para el los primeros n cuadrados hay una fórmula}\\&Sc_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\\&\\&=\lim_{n\to \infty}\frac 6n\left(3n-\frac{36}{n}\frac{n(n+1)}{2}+\frac{36}{n^2}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}  \right)=\\&\\&\text{metiendo el 1/n dentro}\\&\\&6\left(\lim_{n\to \infty} \frac {3n}{n}-\frac{36}2\lim_{n\to \infty}\frac{n^2+n}{n^2} +6 \lim_{n\to \infty}\frac{2n^3+an^2+bn+c}{n^3} \right)=\\&\\&\text{no nos importa lo que valgan a,b,c}\\&\\&6\left(3-18+6·2\right)=6\left(3-18+12  \right)=6·-3=-18\end{align}$$

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